对于单李代数,Killing form 是 unique up to overall scaling 的,因此有上述任人选择的参数 \mu\。有时候文献会提供 \mathfrak{g}\的某个 Cartan-Weyl 基底的矩阵表示 \mathcal{R}\,它的求迹 \operatorname{tr}_\mathcal{R} XY\通常不严格等于个人选择的 Killing form K(X,Y) \equiv \mu \operator...
反过来,对于 \mathfrak{g} 的任何一个 \mathfrak{su}(2) 子代数,其李代数嵌入映射 \iota_*: \mathfrak{su}(2) \to \mathfrak{g} 是李代数同态,因此必然能够找到对应的李群嵌入映射 \iota: SU(2) \to G ;若用人类语言来说,即任何一个 \mathfrak{su}(2) 子代数一定能够通过指数映射 \exp_G “...
李代数是物理学中最重要的工具之一。它们在经典力学、量子力学、甚至广义相对论中都很有用。它们是数学的一个子集，称为表示论，该理论使用称为群的工具来提供一种形式来描述物质和能量。关于李代数，普通大众对它知之甚少。所以今天，我将揭开这个重要概念的神秘面纱，讲述一些关于李代数的真相。什么是李代数？李代...
李代数是一类重要的非结合代数。李代数是挪威数学家S.李在19世纪后期研究连续变换群时引进的一个数学概念，它与李群的研究密切相关。可解李代数(solvable Lie algebra)是一类特殊的李代数。定义 若L为域F上的李代数，记：则 为L之理想，且有 ，又有 。若存在自然数N，使得 ，则L称为可解李代数。性质 若L...
有时我们也会把叫做生成元，当我们把叫做生成元时，强调的是它的李代数性质而非流形上的切向量。李代数把处理李群这样一个非线性的对象转变成了自身这种线性空间，这大大方便了很多问题，不过李代数只能反映李群的局部性质，对于整体性质则无能为力，事实上不同的李群可以有相同的李代数，因此对李群的研究也不能仅...
李群与李代数 咖啡猫 人工智能哲学家 1. 一切从“群”开始 群(Group)是一个指定某种运算的集合,假设集合为 ,运算为 ,该群的表达为 ,存在单位元 ,并满足如下四条性质,假设 : 封闭性: 结合律: 幺元 : 逆元: 2… 李群李代数及其表示:总集篇
一、李代数的定义与性质 李代数是一种数学结构，由向量空间和二元运算组成。这个二元运算被称为李括号，它满足以下性质：1. 线性性：对于任意标量a和b以及向量x、y、z，李括号满足结合律和分配律：[ax + by, z] = a[x, z] + b[y, z][x, ay + bz] = a[x, y] + b[x, z]2. 反对称性：...
四、李代数求导与扰动模型 1、 BCH (Baker-Campbell-Hausdorff) 两个李代数指数映射乘积的完整形式,有BCH公式刻画。 展开式的前几项: [] 为李括号 SO(3) 上的李代数 ln(exp(ϕ^ 1) exp(ϕ^ 2))_,当 ϕ1 或 ϕ2 为小量时,BCH近似表达为: ...
一、李代数与物理对称性 在本节中,我们将讨论像Noether定理这样的结果如何与李代数相关。 1.1量子力学概述 在量子力学中,态|ψ〉是希尔伯特空间中范数为1的向量;希尔伯特空间是一个具有内积的复向量空间。一个可观测量是作用在该空间上的厄米线性算子。一个特别的可观测量是哈密顿量,有方程id|ψ(t)〉/dt=H|ψ...