李代数是物理学中最重要的工具之一。它们在经典力学、量子力学、甚至广义相对论中都很有用。它们是数学的一个子集，称为表示论，该理论使用称为群的工具来提供一种形式来描述物质和能量。关于李代数，普通大众对它知之甚少。所以今天，我将揭开这个重要概念的神秘面纱，讲述一些关于李代数的真相。什么是李代数？李代...
1 李群李代数 1.1 李群 李群是一种可微分流形的群,即可以在流形上进行微分操作。 在这里插入图片描述 群(G,∘)由一个集合G加上一种运算∘组成,群要求运算满足以下性质: 封闭性:∀X,Y∈G,X∘Y∈G 结合律:∀X,Y,Z∈G,(X∘Y)∘Z=X∘(Y∘Z) 幺元:\existE∈G,s.t.E∘X=X∘E...
反过来,对于任何一个李代数同态 \phi_*: \mathfrak{g}_1 \to \mathfrak{g}_2 ,都必然存在一个李群间同态 \phi: G_1 \to G_2 ,使得二者满足前述交换关系。 这个定理有一个简单但强大的推论:如果有李代数元素 X_1 \in \mathfrak{g}_1 使得\exp_1(2\pi i X_1) = e_1 \in G_1 ,则必...
1. 粒子物理学：粒子物理学研究基本粒子之间的相互作用。一个经典的例子是SU(3)李代数，它描述了夸克之间的强相互作用。SU(3)李代数的生成元可以表示为8个矩阵，分别对应八种不同的夸克。通过研究这些生成元的对易关系，科学家可以揭示夸克之间的对称性和相互关系。2. 量子力学：李代数在量子力学中扮演着重要角色...
李理论（Lie theory），命名自19世纪的挪威数学家索菲斯·李，是数学和物理学中一个极其重要且广泛应用的理论，其根本概念是李群和李代数。这个理论提供了一个强大的框架，用于描述对称性和连续变换，因此在许多科学领域中都有着广泛的应用，包括量子力学、粒子物理、晶体学和机器人学。本文我们将深入探讨李理论的基本...
通过李群——李代数间的转换关系,我们希望把位姿估计变成无约束的优化问题,简化求解方式。 一、群 群( Group)是一种集合加上一种运算的代数结构。记作G = (A; ·),满足一下条件。 李群是指具有连续(光滑)性质的群 二、李代数 李代数描述了李群的局部性质。李代数由一个集合 V,一个数域 F 和一个二元运算...
一、李代数与物理对称性 在本节中,我们将讨论像Noether定理这样的结果如何与李代数相关。 1.1量子力学概述 在量子力学中,态|ψ〉是希尔伯特空间中范数为1的向量;希尔伯特空间是一个具有内积的复向量空间。一个可观测量是作用在该空间上的厄米线性算子。一个特别的可观测量是哈密顿量,有方程id|ψ(t)〉/dt=H|ψ...
最初是由19世纪挪威数学家索菲斯·李创立李群时引进 的一个数学概念,经过一个世纪,特别是19世纪末和20世纪的前叶,由于威廉·基灵、嘉当、外尔等人卓有成效 的工作,李代数本身的理论才得到完善,并且有了很大的发展。 简介 一类重要的非结合代数。非结合代数是环论的一个分支,与结合代数有着密切联系。结合代数的...
通过李群——李代数间的转换关系,我们希望把位姿估计变成无约束的优化问题,简化求解方式。 一、群 群( Group)是一种集合加上一种运算的代数结构。记作G = (A; ·),满足一下条件。 李群是指具有连续(光滑)性质的群 二、李代数 李代数描述了李群的局部性质。李代数由一个集合 V,一个数域 F 和一个二元运算...