它的意义是:导函数的变分等于变分的导数。 所以(3)式的第二部分可以表示为: \int _a ^b \frac{\partial f}{\partial y'}\delta(y')dx = \int _a ^b \frac{\partial f}{\partial y'}(\delta y)'dx = \int _a ^b \frac{\partial f}{\partial y'}d(\delta y) ...
本文从函数的驻点、泛函的定义、变分原理的推导和变分原理的简单应用四个方面对变分法的原理和应用作简要的介绍,以加深对读者变分法的理解。 1.函数的驻点 驻点往往是极值存在的点,在求解函数f(x)在定义域内的极值时,我们常会找函数的驻点。下面介绍函数的驻点是如何得到的。 对于一个三维空间域上的函数f(xx...
变分原理是求解泛函极值问题的关键。许多物理问题，如最速降线问题、悬链线问题等，本质上都是求泛函的极值问题。变分原理的推导基于一个核心思想：泛函的极值对应于函数的变分为零。以一个典型的泛函F[y]为例，我们考虑函数y(x)的一个微小变化δy，称为变分。泛函的变分δF可以表示为：通过泰勒展开并保留一阶项...
在变分问题中,为了找到使泛函取得极值的函数,我们引入了变分导数的概念,这与多元函数求极值中的偏导数概念相对应。变分导数描述了泛函对函数微小扰动的响应,即泛函值的变化与函数微小变化之间的比率。 对于特定的泛函形式 其中L 是拉格朗日函数,它依赖于函数 X(t) 、其导数 X'(t) 以及时间 t 。为了找到使这个泛...
变分的链式法则有独特的推导思路。考虑变分对参数的依赖关系。 一些常见函数的变分法则有固定模式。推导变分运算法则需要严谨的逻辑。但也要保持思路的灵活性。从几何角度理解变分有时会有帮助。物理问题中的变分推导有实际应用。对比变分与微分的相似和不同之处。变分的对称性在推导中可能有用。注意变分的高阶形式。
变分是微分的推广,微分针对的是,一个函数因变量对自变量求导,自变量是一个数值变量;变分针对的是函数的自变量是一个函数。有人说:那不就是微分方程吗?普通微分方程是一个函数和它的导数(或者高阶导数)组成的方程,解方程就是求这个函数;变分法解决的是一个函数及其导数组成另一个复杂函数,然后对这个新函数的定...
泛函变分 极值与变分 总结 变分法是泛函极值的一个重要方法,也是自学数学类研究中的入门方法,它有非常好的性质,比如可以求设备运转的最大经济效益,最速下降曲线、最小旋转曲面等常规高等数学很难做到的问题。从它的推导过程其实可以看到都是紧扣定义,由未知走向已知,最后归结为求微分方程或微分方程组的问题,不得不...
定义：变分导数 设𝐹：𝑉→ℝ是一个定义在向量空间V（可能是无限维）上的实值函数。𝐹在𝑥处沿ℎ方向的变分导数定义为 其中𝜖是一个正实数。注意，这个导数通常取决于方向向量ℎ。如果在计算导数时发现它与ℎ无关，那么这是一个好兆头，因为它意味着导数可能在每个方向上都有良好的定义。欧拉-...
同样的材料可以出现在不同的标题中,例如希尔伯特空间技术,莫尔斯理论,或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面(肥皂泡)上也有很多研究工,称为Plateau问题。 最优控制的理论是变分法的一个推广。