变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律,或称最小作用原理。例如:实际上光的传播遵循最小能量原理: 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。一、举一个例子(泛函)变分法是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学方法),是计算泛函驻值的数学理论。在...
对应微分学中的微分,这段微小的变化δy(x)就称作自变量的变分。而在泛函取到极值的地方,对应泛函的变分δI=0(停驻)。接下来进行推导: 经过变化δy(x)后,对应的函数f(y,y′)变化了: (2)δf=∂f∂yδy+∂f∂y′δy′ 则对于泛函的变分 (3)δI=∫ab[∂f∂yδy+∂f∂y′δy′]...
物理学中的变分原理 P. de费马从欧几里得确立的光的反射定律出发提出了光的最小时间原理:光线永远沿用时最短的路径传播。他原先怀疑光的折射定律,但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律,不仅消除了早先的怀疑,而且更加坚信他的原理。拉格朗日把变分法用到动力学上。他引进广义坐标q1,q2,...
变分原理让我们可以去取一些物理量,如轨迹长度,或函数的最大或最小值。这种方法会在一个全局视角上描述系统选择的轨迹,例如,采取A到B所花时间最小的路径。 费曼大师之前举过一个例子:沙滩上的救生员在点A,发现海中点B有人溺水,那么他/她肯定不会采取两点之间的直线距离。即使直线距离是最短的,但是一般人明显在...
变分原理的基本概念是泛函(functional)。泛函是一个由函数组成的函数,将一个函数空间映射到实数集合。泛函的形式可以是函数的积分、导数、逐点相加等。泛函的极值问题是找到使泛函取得极大值或极小值的函数。 变分原理的基本原理是极值条件:若一个函数使得泛函取得极值,那么该函数满足变分原理所给出的极值条件。变分原...
变分原理 •变分是力学分析中的数学工具•变分原理主要应用于:有限元、能量法、加权残值法 也可以说:变分是结构数值计算的基础,没有变分 这一数学工具就没有计算结构力学 1.1变分的基本概念 ①泛函的概念函数论:自变量、函数变分原理:自变函数、泛函 举例1:平面上两个给定点:P1(X1,Y1)、P2(X2,Y...
变分原理是这样一个原理:如果一个物理系统的运动方程可以通过一些函数的下极值原理来推导出来,那么这个物理系统的运动方程也可以通过其他的方法得到,比如经典的牛顿运动定律、拉格朗日方程或哈密顿方程等。所以,变分原理可以看作是一种看待运动方程的新视角,它提供了一种新的方法来推导和解决运动方程。 变分法是以变分...
变分法的基本原理可以用极值问题的欧拉-拉格朗日方程来描述。对于给定的函数als,如果要求该函数在一定条件下取得极值,可以通过欧拉-拉格朗日方程来求解。欧拉-拉格朗日方程的形式为: \[\frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial y'}) \frac{\partial f}{\partial y} = 0\] 其中,f是要求极值的函数als,y是...