这一章中,我们首先给出拓扑空间的第一个具有代数结构的不变量——基本群。 1.1基本群 【基本群】一个拓扑空间X中的任意一点x0可以诱导一个基本群π1(X,x0),这个群是这样构成的:起点和终点都是x0的道路a所构成的集合在一种划分下形成的等价类[a],基本群就是由这些等价类[a]构成,并且称[a]为闭路类,其...
代数拓扑关心的问题是同胚的(代数)不变量,或者更宽泛一点,同伦下保持不变的量。几乎最显然易见的是空间连通分支的个数;然而这个不变量过于粗糙,对相当多我们关心的情形并不能有很好的作用,于是需要找到连通分支相应的推广概念。在过去的许久时间内,拓扑学家们发现了两种重要的高阶(或者叫高维)推广:同伦群和上同调群...
19 世纪的代数学家发现的新的数学对象（矩阵、代数、群、簇等）开始被数学家们运用到他们的研究工作中，他们把这些新数学对象作为解决几何学、拓扑学、数论和函数论等其他数学领域中的问题的工具。法国数学家庞加莱最先将拓扑学的思想代数化，成为代数拓扑的创始人。而他的传人布劳威尔，更是一位非常有想法的哲学家...
集合拓扑:拓扑是集合上定义的一种结构。 点集拓扑学 点集拓扑学(Point Set Topology),有时也被称为一般拓扑学(General Topology),是数学的拓扑学的一个分支。 它研究拓扑空间以及定义在其上的数学结构的基本性质。这一分支起源于以下几个领域:对实数轴上点集的细致研究,流形的概念,度量空间的概念,以及早期的泛函...
课程负责人吕志,数学科学学院教授、博士生导师。主要从事代数拓扑、变换群以及环面拓扑研究,在等变配边分类及其完全不变量、广义Smith猜想、Rank猜想的研究上取得重要研究成果,发表在Math. Ann., Trans AMS, IMRN, Math. Z., AGT,Math. Res. Lett....
拓扑很粗略地说就是研究集合的“大致”形状。几何很粗略地说是研究集合的“具体”形状。代数拓扑和代数几何都是几何里的内容,都是研究集合的形状。代数拓扑关注集合(流形,复形)的拓扑结构。通过代数,比如上下同调,基础群等等研究集合的拓扑性质。代数几何研究某一类集合(代数簇)的几何和拓扑性质。由于代数簇是方程的...
代数拓扑是代数和拓扑学相结合的分支学科，它研究代数结构和拓扑空间之间的关系。具体来说，代数拓扑主要关注于研究拓扑空间的代数不变量，以及代数结构对拓扑空间的影响。代数不变量是在拓扑空间上定义的代数对象，它们在拓扑空间之间的等价变换下保持不变。代数拓扑的研究对象包括拓扑群、同调代数、同伦代数、K理论、代数...
代数拓扑就是用代数的方法来研究拓扑的问题。代数是一门研究抽象结构和运算规则的数学分支，比如群、环、域等。代数拓扑的基本思想是将一个拓扑空间与一个代数结构联系起来，从而将拓扑问题转化为代数问题。这样做的好处有两个：一是可以利用代数的工具来解决拓扑问题，二是可以用代数结构来表示拓扑空间的不变特征。那...
贝蒂数（Betti number）是代数拓扑学中的一个重要概念，用于描述拓扑空间的不变量。 贝蒂数取值为非负整数或无穷大，直观地反映了拓扑空间的连通性和孔洞结构。 贝蒂数的概念最早由庞加莱（Henri Poincaré）提出，并以意大利数学家恩里科·贝蒂（Enrico Betti）的名字命名。 贝蒂数在许多领域有广泛的应用，包括拓扑学...