解:令 H(x)=ex-1-x,则 H′(x)=ex-1-1 若x<1,则 H′(x)<0,H(x)在(-∞,1)上单调递减若 x>1,则 H′(x)>0,H(x)在(1,+∞)上单调递增 ∴H(x)min=H(1)=0,∴H(x)≥0 ∴ex-1≥x. 例3.求证:当 x∈[0,+∞)时,sinx≤x. 解:令 H(x)=sinx-x,x∈[0,+∞),H′(x)=cosx-1≤0 ∴H(x
证明:(1)当x=0时,ex=1,x+1=1,命题成立;(2)当x>0时,令f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1>0∴f(x)在(0,+∞)上为增函数∵x>0,∴f(x)>f(0)=e0-0-1=0即ex-x-1>0∴ex>x+1;(3)当x<0时,令f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1<0∴f(x)在(-∞,0)上为减函数∵x<0,∴f(x)...
投稿邮箱:zoushengshu@163.com; 商务联系:13297228197。 巧用不等式ex≥x+1探索求参数范围 朱冬茂三原县北城中学712000 邹生书数学 2021年第4季度 最受读者欢迎的49篇解题文章 49.刘耀忠——例析圆锥曲线几何意义的应用 48.高考热点——分段函数中...
联想1ex-x≥1,当x=0 时,(ex-x)mⅰn=1. 联想2lnx≤x-1(x >0),当且仅当x=1 时等号成立. 简证在ex≥x+1 中,将x换为x-1 得,ex-1≥x,ln ex-1≥lnx,即lnx≤x-1(x >0),当且仅当x=1 时等号成立. 联想3 由lnx≤x-1(x >0)易得,略去简证....
在x大于1的情况下，我们可以通过两种方法证明\(e^x > ex\)。方法一中，我们设\(f(t) = e^t\)，其中\(t\)属于闭区间\[1, x\]。该函数在\[1, x\]上连续，并在(1, x)内可导。根据拉格朗日中值定理，存在一个ξ属于(1, x)，使得\(f'(ξ) = \frac{e^x - e}{x - 1}\)...
f(t)在[1,x]上连续,在(1,x)内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(1,x),使得f'(ξ)=(e^x-e)/(x-1)f'(t)=e^t,所以(e^x-e)/(x-1)=e^ξξ>1,所以(e^x-e)/(x-1)>e,此即e^x>ex方法二:设f(x)=e^x-ex,x∈[1,+∞)...
分析 构造函数f(x)=ex-x-1,利用导数判断函数的单调性,求得f(x)的最小值即可证明ex≥x+1解答 证明:令f(x)=ex-1-x,∴f′(x)=ex-1,令f′(x)=ex-1=0,解得x=0,当x>0时,函数f(x)单调递增,当x<0时,函数f(x)单调递减,∴当x=0时,函数有最小值,最小值为f(0)=0,∴f(x)≥0,∴ex≥...
图1 不难证明,函数y=ex 在x=0 处的切线方程为y= x+1,如图1 所示.观察图象可知,函数y=ex 的图象总是在切线y= x+1 的上方,所以从图1 中可以抽象出不等式ex≥x+1,当且仅当x=0 时等号成立. 2.2 函数背景 构造函数f(x)=ex-x-1,通过求导,可证明f(x)≥...
解答解:(1)证明:令y=f(x)-x=ex-x-1, 则y′=ex-1, 当x>0时,函数y′>0,函数递增; 当x<0时,函数y′<0,函数递减. 可得函数y在x=0处取得极小值,且为最小值0. 则y≥0,即f(x)≥x; (2)对任意的x∈(0,x0),恒有kf(x)<x,且f(x)>0, ...
为证明当x＞1时，ex＞ex，只需证明ex-ex＞0即可．令f（x）=ex-ex，则f（1）=0．因为f′（x）=ex-e，所以当x＞1时，f′（x）＞0，从而，f（x）＞f（1）=0，即：当x＞1时，ex-ex＞0．