【解析】A为$$ m \times n $$矩阵,∴A有m行n列,且方程组有 n个未知数 $$ A x = 0 $$仅有零解⇒A的秩不小于方程组的未知数个数 n ∵$$ R ( A ) = n \Leftrightarrow A $$的列秩$$ = n \Leftrightarrow A $$的列向量线性无关. 矩阵A有n列,∴A的列向量组线性无...
方法二 因A为$$ m \times n $$实矩阵,且$$ r ( A ) = n $$,所以$$ A x = 0 $$只有零解,于是对 任意的$$ x \neq 0 $$,$$ A x \neq 0 $$,有 $$ x ^ { T } ( A ^ { T } A x ) = ( A x ) ^ { T } ( A x ) > 0 . $$ 由定义知,$$ x...
在研究非齐次线性方程组 \(Ax=b\) 的过程中，如果系数矩阵 \(A\) 是一个 \(m \times n\) 矩阵，且其秩为 \(r\)，那么我们需要了解矩阵的秩与矩阵的行数、列数之间的关系。矩阵的秩定义为矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大数量。根据矩阵的秩的定义，矩阵的秩 \(r\) 不能超过矩阵...
设\(A\)是一个\(m\times n\)的矩阵,秩为\(r\).假设存在向量\(\mathbf{b}\in\mathbb{R}^m\)使得线性方程组\(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)无解,那么 A. \(m\)严格小于\(n\) B. \(r\)严格小于\(n\) C. \(A^T\mathbf{y} = 0\)只有零解 D. \(A^T\mathbf{y} = 0\)...
设\(A\)为\(m\times n\)矩阵\(,\)则齐次线性方程组\(Ax=0\)有结论\(( \quad )\)。A.当\(m\ge n\)时\(,\)方程组仅有零解B.当\(m\lt n\)时\(,\)方程组有非零解\(,\)且基础解系中含有\(n-m\)个线性无关的解向量C.若\(A\)有\(n\)阶子式不为零,则方程组只有零解D.若...
【题目】设A为$$ m \times n $$矩阵.已知n是非齐次线性方程组$$ A x = b $$的一个解向量,而 $$ \xi : $$,5}、...,ξ}是共号出组$$ A x = 0 $$的基础解系.证明:$$ \eta , \eta + \xi _ { 1 } , \eta + \xi _ { 2 } , \cdots , \eta + \xi _ { 2 } ...
【题目】设A为$$ m \times n $$矩阵,经过初等行变换,A可以化为简化阶梯形矩阵B。证明;(1)当$$ m > n $$时,B中一定有全零行;(2)当$$ m = n $$时,即A为n阶方阵时,若B中没有全零行,则B的各行的首元素1恰好在对角线上,即B为n阶单位矩阵E。
设$A,B$均为$m\times n$矩阵,以$A,B$为系数矩阵的齐次线性方程组分别记为$(I)$和$(II)$,则下面断言正确的是( )。 A. 若$(I)$的解都是$II$的解,则秩$(B)\leq $秩$(A)$; B. 若秩$(B)\leq $秩$(A)$,则$(I)$的解都是$II$的解; C. 若秩$(B)$=秩$(A)$,则$(I)$...
设A是m阶矩阵,则存在非零n×m矩阵B,使AB=0的充分必要条件为A的秩___. 扫码下载作业帮搜索答疑一搜即得 答案解析 查看更多优质解析 解答一 举报 由AB=0,且B为非零矩阵,因此存在B的某个列向量bj为非零列向量,满足Abj=0.即方程组AX=0有非零解,所以|A|=0;反之:若|A|=0,则AX=0有非零解,则存在非...
方法:证明齐次线性方程组 AX=0 (1)与 A^TAX=0 (2)同解即可显然(1)的解是(2)的解设X0是(2)的解, 则 A^TAX0=0所以 X0^T A^TAX0=0所以 (AX0)^T(AX0)=0所以 AX0 = 0即有(2)的解也是(1)的解故两个方程组同解进而基础解系含相同的个数的解向量即 n-r(A) = n-r...