集合论或“集论”,是研究集合(由一堆抽象个体元素(物件”)构成的整体)的数学理论;包含了集合、元素和归属关系等最基本的数学概念。在大多数现代数学的公式化中,集合论提供了要“如何描述数学“因素及关系”的语言。集合论和逻辑(与一阶逻辑),共同构成了数学的公理化基础;以未定义的"集合"与集合的“元素”等术语...
康托尔在集合论中,对无穷概念作了精确的数学表述,揭示了无穷集合的本质特征:无穷集合的部分等势于整体。 ”势“的概念的引入,使康托尔有了确定同一等级或者同一层次的无穷集合的尺度。实数不可数的证明揭示了实数连续统和有理数集之间实质性的差别,即实数集与有理数集是两个不同层次的无穷集。不同等级的无穷集...
模糊集合论以模糊数学为基础，研究有关非精确的现象。客观世界中，大量存在着许多亦此亦彼的模糊现象。用来表达模糊性概念的集合。 又称模糊集、模糊子集。普通的集合是指具有某种属性的对象的全体。这种属性所表达的概念应该是清晰的，界限分明的。因此每个对象对于集合的隶属关系也是明确的，非此即彼。但在人们的...
通过集合论的工具,数学家能够构建和分析各种拓扑空间,这对于理解几何形状和空间结构至关重要。例如,在研究流形时,集合论的原理被用来定义流形上的点集拓扑,从而使得数学家能够研究这些空间的局部和全局性质。这种对集合论的深入应用,不仅推动了拓扑学的发展,也为物理学中对时空结构的研究提供了数学工具。
哥德尔证明选择公理和连续统假设协调性的方法是定义一种类型的集合，叫做可构成集。假如把集合论中集合的概念完全用可构成集合的概念来理解，那么集合论中的一些概念就会有相应的改变。但是有一些概念不会改变，这种概念我们称为绝对的，特别是可构成性这个概念是绝对的。所以“一切集合是可构成的”，这称为可构成性...
由于实数集合“不可列”,而“代数数集合“可列”,康托尔凭着敏锐的直觉,预言了“超越数集”的存在,而且坚信“超越数”的数量将大大地多于“代数数”。 同年,康托尔又构造了“实变函数论”中著名的“康托尔集”,给出了“测度为零”的“不可数集”的一个例子。 康托尔还巧妙地将“一条直线上的点”与“...
其中最为著名的是策梅洛-弗兰克尔（ZF）公理系统，它包含了一系列关于集合存在性和性质的公理，如空集公理、并集公理、幂集公理等。这些公理构成了集合论的基础，使得我们能够在一个严密的逻辑框架内讨论集合论的各种问题。二、集合论的核心 集合论的核心在于其提供了一种描述和处理数学对象及其关系的统一语言。在现代...
ZFC公理体系是用于推导集合论命题的基础。其中，Z表示Zermelo-Fraenkel，C表示选择公理（即AC公理），F表示Fraenkel。这个体系使用了一阶逻辑来描述集合论中的对象和它们之间的关系。它包括无限公理、空集公理、外延公理、对并集公理、幂集公理、正则公理等多个公理，以确保集合论中的命题能够推导出来。ZFC公理体系是完备...