正负惯性指数之和等于矩阵的秩,这一结论适用于对称矩阵或二次型。具体而言,正惯性指数是矩阵中正特征值的个数,负惯性指数是负特征值的个数,两者之和等于矩阵的非零特征值总个数,而矩阵的秩恰好等于非零特征值的个数。以下从概念定义、数学关系及证明逻辑展开说明。 一、...
在实数域中,根据惯性定理,每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和正负数构成的对角矩阵。如果设正数的个数是p,负数的个数是q,那么给定(p,q)后,就确定了一个关于合同关系的等价类。 数对(p,q)称为一个对称矩阵(或相应二次型)的惯性指数,其中正数的个数p称为正惯性指数, 负数的个数q称为负惯性指数...
对角矩阵的非零元素个数等于秩,而正负惯性指数分别统计这些非零元素的正负数量。因此,正负惯性指数之和必然等于原二次型矩阵的秩,两者本质上是同一概念在不同形式下的表达。