实变函数论（real function theory）19世纪末20世纪初形成的数学分支。起源于古典分析，主要研究对象是自变量（包括多变量）取实数值的函数，研究的问题包括函数的连续性、可微性、可积性、收敛性等方面的基本理论，是微积分的深入和发展。因为它不仅研究微积分中的函数，而且还研究更为一般的函数，并且得到了较微积分...
以实数作为自变量的函数就做实变函数,以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展,它的基础是点集论。所谓点集论,就是专门研究点所成的集合的性质的理论,也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如,点集函数、序列、极限、连续性、可...
首先扩充函数的定义 广义实值函数 函数f在某一点的取值可以为\infty,注意不是趋近!\\例如f(0)=\infty,而不是\lim_{x\rightarrow0}f(x)=\infty f:E\rightarrow R\cup\{-\infty,+\infty\}, E是可测集,记E[f>a]=\{x|f(x)>a\},若\forall a \in R, E[f>a]都是可测集,那么f称为可...
设f_n 是非负可测函数序列,单调递增, f_n\uparrow f , 证明 \lim\int f_n=\int f . 由于f_n 单调递增, f_n\leq f , 所以 \int f_n\leq\int f , 从而 \lim\int f_n\leq \int f . 为证明反方向的不等式,我们考虑任意一个具有有限支撑的简单函数 0\leq \varphi\leq f . ...
实变函数是指$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$的函数,即定义域为实数集$\mathbb{R}$的函数,也称为一元实函数。它以实数为自变量,实数为函数值。实变函数主要研究实数集上的性质和变化规律。 二、实变函数的定义 实变函数的定义有多种方式,常用的有以下几种: 1.函数图像法 根据函数的图像来定义实变...
实变函数是长安大学建设的慕课，于2021年3月3日在中国大学MOOC首次开课，授课教师为宋学力、包雄雄、王凯明、张丽、肖伟、曹倩。据2022年7月中国大学MOOC官网显示，该课程已开课3次。实变函数课程共七章，包括引论、集合、点集、测度、可测函数、积分论、微分与积分等内容。课程性质 课程定位 实变函数是致力于解决...
实变函数是指自变量和函数值都是实数的函数。实变函数是数学分析中的基础,它是研究实数集上的函数性质的重要工具。实变函数的定义域和值域都是实数集,它们可以表示为y=f(x),其中x和y都是实数。 实变函数可以分为一元实变函数和多元实变函数两种。一元实变函数是指只有一个自变量的函数,例如y=f(x),x是自变...
一、实变函数的分类 1.连续函数:连续函数是最基本的一类实变函数。如果一个函数在定义域上的任意一点都满足极限存在且等于函数在该点的值,那么这个函数就是连续函数。连续函数具有许多重要的性质,例如介值定理、最值定理等。 2.导数可导函数:导数可导函数是指其导数在定义域上存在且有定义。通过导数的概念,我们可...
一、实变函数的基本概念 实变函数是指定义在实数集上的函数,即函数的自变量和函数值都是实数。实变函数可以用符号f(x)表示,其中x为实数,f(x)为实数集上的函数值。实变函数的定义域为实数集,通常用D(f)表示。 二、实变函数的性质 1. 连续性:实变函数在定义域上连续,当且仅当对于任意的实数x0,函数f(...