首先扩充函数的定义 广义实值函数 函数f在某一点的取值可以为\infty,注意不是趋近!\\例如f(0)=\infty,而不是\lim_{x\rightarrow0}f(x)=\infty f:E\rightarrow R\cup\{-\infty,+\infty\}, E是可测集,记E[f>a]=\{x|f(x)>a\},若\forall a \in R, E[f>a]都是可测集,那么f称为可...
定理(简单函数逼近定理): 若f(x)是E上的非负可测函数,则存在非负可测的简单函数渐升列: φk(x)⩽φk+1(x),k=1,2,⋯, 使得 limk→∞φk(x)=f(x),x∈E; 当f(x)是E上的可测函数,则存在可测简单函数列{φk(x)},使得|φk(x)|⩽|f(x)|,且有 ...
55、 g)-1(a,+) = g-1(f-1(a,+)f-1(a,+) =),(iiiba),(),(11iiiiiibagbag(利用Cantor函数构造,参见:实变函数,周民强,p114)证明:要证f( g(x)是可测函数,只要证对任意a,m (Ef ga)=x| f( g(x)a可测即可,由于f在F=R上连续,故Ffa为R中的开集,),(iiiafbaF又直线上的开集可表示...
然而关于Riemann积分的第一个推广, 很快就到来了, 虽然动机和实变函数没有关系, Stieltjes实际是在研究发散级数的连分数展开. 1894年Stieltjes发表了一篇关于连分数研究的论文, 引入了现在被称为Riemann-Stieltjes积分的概念. 用现代的说法讲, 这是一种关于单增函数的广义导数定义的Lebesgue-Stieltjes积分(这部分的工作...
(x),一定存在E上的连续函数列fi(x)使fi(x)f(x) a.e.于E,从而,令 ,即得我们所要的结果,证明:由鲁津定理的推论知,再由Riesz定理,存在gn(x) 的子列 gni(x) 使gni(x)f(x) a.e.于E,对上例的说明(只能作到几乎处处收敛,说明:若fnf于R, fn连续,则f的连续点集是R的稠密集 (参见:实变函数,...
实变函数的计算和研究多关注函数值随着输入的变化如何逐步变化而复变函数则多了一层空间维度的复杂性。除了可以观察到在实数轴上的变化。还能研究它在虚数轴上的表现。可以这么说，实变函数就像是平面中的一条曲线，而复变函数则像是一张展开的二维平面，包含了更丰富的信息。让我们再深入一点来对比。比如考虑连续...
勒贝格改进了博雷尔的测度论,通过对集合的测度的研究,填上了横线上的那句话:是零测集。于是就有了数学分析中那个交叉了实变函数内容的定理:Lebesgue定理:设函数f在有限区间[a,b]上有界,那么f在[a,b]上Riemann可积的充分必要条件是Df是一个零测集。
例5. 直线上任何一个单调函数的不连续点至多可数个. 二、外测度、测度及其基本性质 (1)理解外测度概念,会计算简单集合的外测度.(2)理解可测集、测度概念,会计算简单集合的测度.(3)会利用可测集定义、性质证明集合的可测性. 例6.从外测度定义出发,计算 中下面集合的外测度 例7.问 中集 是否可测?若可测...
实变函数论的作用主要体现在以下几个方面：数学理论的深化：实变函数论相较于古典数学分析，是一种更为精深的理论体系，它深化了我们对函数连续性、可微性、可积性、收敛性等方面的理解。它不仅研究微积分中的函数，还研究更为一般的函数，并得到了比微积分中相应理论更为深刻、更为一般从而应用更为...
实变函数，顾名思义，是关于实数集上定义地函数。也许有人会觉得它和我们日常接触的函数并没有太多区别但实际上。正是这种看似简单的函数。却能揭示出无数精彩的数学奥秘。它是分析学的核心，深入理解它，你将窥见微积分、极限、连续性等众多概念的精髓。渐进行为的奇妙 你能感受到函数行为地细微变化吗？就像海面...