首先扩充函数的定义 广义实值函数 函数f在某一点的取值可以为\infty,注意不是趋近!\\例如f(0)=\infty,而不是\lim_{x\rightarrow0}f(x)=\infty f:E\rightarrow R\cup\{-\infty,+\infty\}, E是可测集,记E[f>a]=\{x|f(x)>a\},若\forall a \in R, E[f>a]都是可测集,那么f称为可...
定理(简单函数逼近定理): 若f(x)是E上的非负可测函数,则存在非负可测的简单函数渐升列: φk(x)⩽φk+1(x),k=1,2,⋯, 使得 limk→∞φk(x)=f(x),x∈E; 当f(x)是E上的可测函数,则存在可测简单函数列{φk(x)},使得|φk(x)|⩽|f(x)|,且有 ...
55、 g)-1(a,+) = g-1(f-1(a,+)f-1(a,+) =),(iiiba),(),(11iiiiiibagbag(利用Cantor函数构造,参见:实变函数,周民强,p114)证明:要证f( g(x)是可测函数,只要证对任意a,m (Ef ga)=x| f( g(x)a可测即可,由于f在F=R上连续,故Ffa为R中的开集,),(iiiafbaF又直线上的开集可表示...
然而关于Riemann积分的第一个推广, 很快就到来了, 虽然动机和实变函数没有关系, Stieltjes实际是在研究发散级数的连分数展开. 1894年Stieltjes发表了一篇关于连分数研究的论文, 引入了现在被称为Riemann-Stieltjes积分的概念. 用现代的说法讲, 这是一种关于单增函数的广义导数定义的Lebesgue-Stieltjes积分(这部分的工作...
(x),一定存在E上的连续函数列fi(x)使fi(x)f(x) a.e.于E,从而,令 ,即得我们所要的结果,证明:由鲁津定理的推论知,再由Riesz定理,存在gn(x) 的子列 gni(x) 使gni(x)f(x) a.e.于E,对上例的说明(只能作到几乎处处收敛,说明:若fnf于R, fn连续,则f的连续点集是R的稠密集 (参见:实变函数,...
例5. 直线上任何一个单调函数的不连续点至多可数个. 二、外测度、测度及其基本性质 (1)理解外测度概念,会计算简单集合的外测度.(2)理解可测集、测度概念,会计算简单集合的测度.(3)会利用可测集定义、性质证明集合的可测性. 例6.从外测度定义出发,计算 中下面集合的外测度 例7.问 中集 是否可测?若可测...
勒贝格改进了博雷尔的测度论,通过对集合的测度的研究,填上了横线上的那句话:是零测集。于是就有了数学分析中那个交叉了实变函数内容的定理:Lebesgue定理:设函数f在有限区间[a,b]上有界,那么f在[a,b]上Riemann可积的充分必要条件是Df是一个零测集。
实变函数，顾名思义，是关于实数集上定义地函数。也许有人会觉得它和我们日常接触的函数并没有太多区别但实际上。正是这种看似简单的函数。却能揭示出无数精彩的数学奥秘。它是分析学的核心，深入理解它，你将窥见微积分、极限、连续性等众多概念的精髓。渐进行为的奇妙 你能感受到函数行为地细微变化吗？就像海面...
在实变函数理论中，特征函数通常是指一个集合上的指示函数，也称为指示函数、示性函数或特征函数。特征函数通常用来描述一个集合中元素的性质，特别是在测度论和概率论中经常使用。特征函数的定义如下：对于给定的集合 A，其特征函数 χ_A(x) 是一个从该集合中的元素到实数集合中的函数，它的定义如下...
1. 微分与积分：实变函数提供了微分和积分的基本理论框架。通过极限、连续性、可微性和可积性的研究，我们可以理解和计算各种函数的导数和积分。2. 测度论：实变函数与测度论紧密相关。测度是用于量化集合大小的工具，它在实变函数的积分中扮演着重要角色。例如，勒贝格积分就是建立在测度理论之上的。3. 泛函分析：...