因为x→0时，两者都是无穷小，两者比值的极限是1。由等价无穷小的定义，所以两者是等价无穷小。
x趋于0，ln(1+x)与x是等价无穷小 这是因为:令 g(x) = ln(1+x),g(0) = 0；[ln(1+x)] ' = 1 / (1+x),g'(0) = 1；[ln(1+x)] '' = -1 / (1+x)^2,g''(0) = -1；[ln(1+x)] ''' = 2 /...
证明一：由洛必达法则，lim[In(1+x)/x]n→0 =lim[In(1+x)]'/(x)'n→0 =lim[1/(1+x)]n→0 =1 证法二：将In(1+x)按麦克劳林公式展开 In(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+...+(-1)^(n-1)*x^n/n+...In(1+x)-x=-x^2/2+x^3/3+...当x→0,右式也趋向0，两边取...
等价无穷小是 指当自变量趋于某一值时,两个函数的比值趋于 1。本文将讨论 ex–1 与 x 等价无穷小的证明。 2.等价无穷小的定义 设函数 f(x) 和 g(x) 在 x0 的某邻域内有定义,如果当 x 趋于 x0 时,f(x)/g(x) 的极限存在或为无穷大,则称函数 f(x) 与 g(x) 在 x0 处为等价无穷小。 3...
1. 函数f(x) = x - ln(1+x) 满足 f(x) ≥ f(0) = 0。2. 由此可得 x - ln(1+x) ≥ 0。3. 进一步推导得到 x ≥ ln(1+x)。4. 定义函数 f(x) = ln(1+x) - x，求导得 f'(x) = 1/(1+x) - 1。5. 当 0 ≤ x ≤ 1 时，f'(x) ≤ 0，说明函数 f(x) ...
ln(1+x)和x比较大小,在定义域为R上 y=ln(1+x)的定义域为1+x>0,即x>-1；y=x定义域是R；因此只能在(-1,+∞)比较.y'=1/(1+x),故y'(0)=1；即y=ln(1+x)在(0,0)处的切线与直线y=x重合；而当x≠0时曲线y=ln(1+x)都 在直线y=x的下面.故可断言：x=0时ln(1+x)=x...
当x->0时，ln(1+x)~x lim(x->0) ln(1+x)/x =lim(x->0) ln[(1+x)^(1/x)]根据两个重要极限之一，lim(x->0) (1+x)^(1/x)=e，得：=lne =1 所以ln(1+x)与x是等价无穷小
ln（1＋x）＜x
x-ln(1+x)≥ 0 x≥ln(1+x)令f(x)=ln(1+x)-x f'(x)=1/(1+x)-1≤0 （0≤x≤1）因此函数f(x)在0≤x≤1递减，注意不是单减，除去x=0这个点才是单减。因此f(x)=ln(1+x)-x≤0，（等于当且仅当x=0时成立）。即ln(1+x)≤x，（等于当且仅当x=0时成立）。性质1 ...
lim(x→0) ln(1+x)/x =lim(x→0) ln(1+x)^(1/x)=ln[lim(x→0) (1+x)^(1/x)]由两个重要极限知lim(x→0) (1+x)^(1/x)=e 所以原式=lne=1，所以ln(1+x)和x是等价无穷小