【解析】 解 因的$$ \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } $$的是复合函数,设$$ u ( = \varphi ( x ) ) = 1 + x ^ { 2 } , ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { \prime } d x = 2 x d x = $$ $$ d ( 1 + x ^ { 2 } $$.故 $$ \int \frac { x } { \sqrt...
$$ 1 、 \int \frac { a x } { 1 + \sqrt { 2 x } } $$ 答案 解$$ \int \frac{dx}{1+ \sqrt{2x}} $$ 令$$ t= \sqrt{2x} $$即. $$ x= \frac{1}{2}t^{2} $$ $$ d_{x}=d(\frac{1}{2}t^{2})=tdt $$ $$原式 原式= \int \frac{t}{1...
解析 \$\int \frac { 1 } { \sqrt { x } } \mathrm { d } x = \int x ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { d } x = \frac { x ^ { - \frac { 1 } { 2 } + 1 } } { - \frac { 1 } { 2 } + 1 } + C = 2 \sqrt { x } + C\$ ...
【解析】 23.【精析 $$ \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \arcsin r d x = - \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \arcsin x d ( \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \\ = - \sqrt { ...
解析 【解析】 令$$ x = s e c t , d x = s e c t \tan t d t $$,因此 原式$$ 式 = \int \tan ^ { 2 } t d t = \int ( s e c ^ { 2 } t - 1 ) d t = \tan t - t + C = \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } - \arccos \frac { 1 } { x...
【解析】 解令$$ x = \sin t , $$ $$ 原式 = \int \frac { \cos t } { \sin t \cos t } d t = \int \frac { 1 } { \sin t } d t \\ = \ln | e s c t - \cot t | + C = \ln | \frac { 1 - \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } { x } ...
【解析】 方法一:当$$ x > 1 $$时,令$$ x = s e c t , t \in ( 0 , \frac { \pi } { 2 } ) $$,则$$ \frac { 1 } { x } = \cos t , d x = s e c t \tan t d t , $$ 于是 $$ \int \frac { 1 } { x \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } }...
【解析】 $$ \int \frac{(1+ \sqrt{x})^{2}}{\sqrt{x}}dx $$ $$令 \sqrt{x}=t 则 x=t^{2} \\ \int \frac{(1+t)^{2}}{t}dt^{2} \\ = \int 2(1+t)^{2}dt \\ =|2(1+t)^{2}d(1t+1) \\ = \frac{2}{3}(t+1)^{3} \\ = \frac{2}{3}...
【解析】 本题是暇积分.$$ x = 1 $$是瑕点. $$ \int _ { 1 } ^ { 2 } \frac { x d x } { \sqrt { x - 1 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \int _ { 1 + x } ^ { x } \frac { x - 1 + 1 } { \sqrt { x - 1 } } d ( x - 1 ) \\...
【解析】 解设$$ 1 + x = \frac { 1 } { t } $$,则 $$ x = \frac { 1 - t } { t } , d x = - \frac { 1 } { t ^ { 2 } } d t , $$ $$ \sqrt { 1 - x - x ^ { 2 } } = \frac { \sqrt { t ^ { 2 } + t - 1 } } { | t...