为了证明ex 与 x 是等价无穷小,我们需要证明它们满足等价无穷小的定义。即当 x 趋于 0 时,ex 与 x 的比值极限为 1。 证明过程如下: lim (ex/x) = lim (e^x / x) 当x 趋于 0 时,分子 e^x 趋于 1,分母 x 也趋于 0。因此,它们的比值极限为 1。即: lim (ex/x) = 1 所以,ex 与 x 是...
百度试题 结果1 题目证明方程xex=1至少有一个小于1的正根. 相关知识点: 试题来源: 解析 证设f(x)=xex-1,则f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,故由取零值定理知,函数f(x)在0与1之间至少有一个零点,即方程xex=1至少有一个小于1的正根.反馈 收藏 ...
(3)由(1)得ex≥x+1,故ex-1≥x-1+1=x①当且仅当x=1时“=”成立,由(2)得lnx≤x-1,故ln(x+1)≤x+1-1=x②当且仅当x=0时“=”成立,由①②得:ex-1>ln(x+1).2、综合法 (1)定义:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得到命题成立,这种证...
解答证明:(Ⅰ)设g(x)=(1-x)f(x)=(1-x)ex, ∴g′(x)=-xex, 当g′(x)>0时,即x<0,函数g(x)单调递增, 当g′(x)<0时,即x>0,函数g(x)单调递减, ∴g(x)max≥g(0)=1, ∴当x≠0时,(1-x)f(x)<1; (Ⅱ)不防设a
证明:(1)构造函数f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1,x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,所以x=0是函数f(x)的极小值点,即f(x)≥f(0)=0,ex≥x+1;(2)构造函数,g'(x)=ex-x-1,由(1)可知,g'(x)≥0,所以函数g(x)在[0,+∞)单调递增,即g(x)≥g(0)=0,即.(1)...
正确答案:证法1:在[0,x]上令F(z)=ex,则使用拉格朗日定理得,F(x)一F(0)=F'(ξ)(x—0),ξ∈(0,x),即ex-1=eξ·x,由于eξ>1,所以ex一1>x,即ex>1+x.法2:令G(x)=ex一l—x,则G'(x)一ex一1,故在[0,x]内G'(x)>0,所以在[0,x]上G(x)单调递增,由G(0)=0,得x>0时G(x)...
=ex-1．令f'(x)=0，解得x=0．x＜0时，f'(x)＜0，f(x)单调减少；x＞0时，f'(x)＞0，f(x)单调增加，故x=0为f(x)的极小值点，由极值的唯一性即知f(0)为f(x)的最小值．此最小值为零，从而当x≠0时f(x)＞f(0)=0．因此ex=1+x在(-∞，+∞)内只有x=0一个实根．
令:t = ex -1 , x = ln(1+t) , x->0, t->0 lim(x->0) [ex - 1]/x=lim(t->0) t/ln(1+t)=lim(t->0) 1/[ln(1+t)^(1/t)]= 1/lne= 1 令:t = ex-1 , x = ln(1+t) , x->0, t->0lim(x->0) [ex- 1]/x=lim(t->0) t/ln(1+t)=lim(t->0) 1/[...
【答案】：只需证明设ex-1=t，则当x→0时，t→0．由于所以即故当x→0时，ex-1与x是等价无穷小．
为证明当x＞1时，ex＞ex，只需证明ex-ex＞0即可．令f（x）=ex-ex，则f（1）=0．因为f′（x）=ex-e，所以当x＞1时，f′（x）＞0，从而，f（x）＞f（1）=0，即：当x＞1时，ex-ex＞0．