为了证明ex 与 x 是等价无穷小,我们需要证明它们满足等价无穷小的定义。即当 x 趋于 0 时,ex 与 x 的比值极限为 1。 证明过程如下: lim (ex/x) = lim (e^x / x) 当x 趋于 0 时,分子 e^x 趋于 1,分母 x 也趋于 0。因此,它们的比值极限为 1。即: lim (ex/x) = 1 所以,ex 与 x 是...
百度试题 结果1 题目证明方程xex=1至少有一个小于1的正根. 相关知识点: 试题来源: 解析 证设f(x)=xex-1,则f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,故由取零值定理知,函数f(x)在0与1之间至少有一个零点,即方程xex=1至少有一个小于1的正根.反馈 收藏 ...
证明: 将-x 代入不等式 (1) e^x\geq x+1 得:e^{-x}\geq -x+1 令-x+1>0,即 x <1, 再让不等号两端同时乘以 e^x、同时除以 -x+1,不等号方向不变; 即得 \dfrac{1}{1-x}\geq e^x,当且仅当 -x=0 ,即 x=0 取等号 ; ...
【答案】：令f(x)=ex-x-1，f(x)在(-∞，+∞)连续可导．f'(x)=ex-1．令f'(x)=0，解得x=0．x＜0时，f'(x)＜0，f(x)单调减少；x＞0时，f'(x)＞0，f(x)单调增加，故x=0为f(x)的极小值点，由极值的唯一性即知f(0)为f(x)的最小值．此最小值为零，从而当x≠0时f...
【答案】：只需证明设ex-1=t，则当x→0时，t→0．由于所以即故当x→0时，ex-1与x是等价无穷小．
(3)由(1)得ex≥x+1,故ex-1≥x-1+1=x①当且仅当x=1时“=”成立,由(2)得lnx≤x-1,故ln(x+1)≤x+1-1=x②当且仅当x=0时“=”成立,由①②得:ex-1>ln(x+1).2、综合法 (1)定义:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得到命题成立,这种证明...
证明:(1)构造函数f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1,x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,所以x=0是函数f(x)的极小值点,即f(x)≥f(0)=0,ex≥x+1;(2)构造函数,g'(x)=ex-x-1,由(1)可知,g'(x)≥0,所以函数g(x)在[0,+∞)单调递增,即g(x)≥g(0)=0,即.(1)...
1.对ex≥x+1 的证明 证法1(图象法)在同一坐标系下作出函数f(x)=ex和g(x)=x+1 的图象,两图象均经过定点(0,1),且f′(0)=1,即直线g(x)=x+1 是曲线f(x)=ex在定点(0,1)处的切线,因此ex≥x+1(x ∈R,当且仅当x=0 时等号成立). ...
用拉格朗日中值定理证明e^x大于等于ex的方法如下：令f(x)=e^x-x-1f(x)满足拉格朗日中值定理。f(0)=0。f(x)-f(0)=f'(ξ)x。f'(x)=e^x-1当x>=0时，f'(x)>=0。e^x大于等于ex问题得证。当x<0时，e^x大于等于ex。e^x大于等于ex问题得证。注意事项：该定理给出了导函数连续...
证明：设f（x）=ex-x-1，则f′（x）=ex-1，∴当x=0时，f′（x）=0，f（x）=0．当x＞0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）＞f（0）=0．当x＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，∴f（x）＞f（0）=0．∴对x∈R都有f...