Crank-Nicolson 方法的离散形式如下: uin+1−uinΔt=α2(Δt)2[(ui+1n+1−2uin+1+ui−1n+1)+(ui+1n−2uin+ui−1n)] 然而,实现 Crank-Nicolson 方法需要解一个线性方程组,通常涉及矩阵求逆等操作,这里不做讲解。 MATLAB代码示例 clear;clc% 参数和网格设置L=1;% 空间范围长度T=1;% 时间...
Crank-Nicolson差分格式广泛应用于各种偏微分方程的数值求解中,特别是热传导方程和扩散方程。它具有以下优点: - 稳定性好:Crank-Nicolson差分格式是一个隐式方法,对于稳定性要求较高的问题特别有效。 - 精度高:与显式方法相比,Crank-Nicolson差分格式具有二阶精度,可以获得更准确的数值解。 - 收敛速度快:由于其隐式...
2.2Crank-Nicolson格式 对上式偏导在进行离散, i 表示网格点,共 N+1 个, n 为求解时间步,有: {∂u∂t=uin+1−uinΔt∂2u∂y2=[12(ui+1n+ui+1n+1)−(uin+uin+1)+12(ui−1n+ui−1n+1)]Δy2 从而得到Crank-Nicolson求解格式: −Δt2ReΔy2ui+1n+1+(1+ΔtReΔ...
下面是推导Crank-Nicolson方法应用于热方程的过程: 我们考虑一维热方程,形式为: [\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}] 其中,(u(x, t))是温度场,(\alpha\)是热扩散系数。 首先,我们将时间和空间进行离散化。假设在时刻(t_n)和位置(x_i)处的温度值为(u...
这就是Burgers方程的第一种Crank-Nicolson差分格式。 第二种Crank-Nicolson差分格式: 第二种Crank-Nicolson差分格式是基于二次插值,可以更好地保持数值解的容积性。它的表达式如下: (u_i^n+1-u_i^n)/(Δt/2)+(u_i^n+u_i^n+1)*(u_i^n+1-u_i^n)/(4Δx)-(νΔt/2)*(u_i+1^n+1-2u_...
对于Crank-Nicolson格式,截断误差主要来自于对导数的近似。由于我们使用中心差分来近似导数,所以截断误差的大小取决于空间步长Δx的大小。当Δx足够小时,截断误差可以忽略不计;但是当Δx较大时,截断误差就会显著影响数值解的精度。 为了推导截断误差,我们可以使用Taylor级数展开来近似f(u)和f(1-2u)中的函数。对于f(...
Crank-Nicolson 格式使用了两个时间步骤,将参数因子从1改变成1/2,以节省计算量,但同时增加了计算量,因为会变为二次方程,需要求解对称矩阵。此外,由于 Crank-Nicolson 格式是一种 有限差分 数值方法,其精度与时间步长成正比,当时间步长减小时,计算量会大大增加,此时它的性能会大打折扣。 在实际应用中,Crank-...
在工程和科学领域,特别是在热传导、扩散、波动等方程的求解中,Crank-Nicolson方法被广泛应用。 在使用Crank-Nicolson方法进行求解时,通常需要编写相应的数值程序。Matlab作为一种功能强大的数值计算工具,被广泛应用于工程和科学领域。编写Crank-Nicolson方法的Matlab程序,可以帮助工程师和科学家更方便地求解偏微分方程,提高...
考虑一个各向同性、导热系数固定的墙壁，其中一面均匀受热。由此建立一维非稳态无内热源的导热微分方程，初始条件设定为整个墙壁温度分布为25℃，边界条件则定义了热源一侧壁面温度随时间的变化。应用 Crank-Nicolson 方法求解上述偏微分方程，该方法以其在数值求解偏微分方程时的优良稳定性和精确度著称，综合...
求解一维热传导方程Crank-Nicolson差分法