2.2Crank-Nicolson格式 对上式偏导在进行离散, i 表示网格点,共 N+1 个, n 为求解时间步,有: {∂u∂t=uin+1−uinΔt∂2u∂y2=[12(ui+1n+ui+1n+1)−(uin+uin+1)+12(ui−1n+ui−1n+1)]Δy2 从而得到Crank-Nicolson求解格式: −Δt2ReΔy2ui+1n+1+(1+ΔtReΔ...
Crank-Nicolson 方法的离散形式如下: uin+1−uinΔt=α2(Δt)2[(ui+1n+1−2uin+1+ui−1n+1)+(ui+1n−2uin+ui−1n)] 然而,实现 Crank-Nicolson 方法需要解一个线性方程组,通常涉及矩阵求逆等操作,这里不做讲解。 MATLAB代码示例 clear;clc% 参数和网格设置L=1;% 空间范围长度T=1;% 时间...
是个显式格式,可以导出要求扩散方程的计算公式如下: T¯in+1−TinΔt=DTi+1n−2Tin+Ti−1nΔx2+QinTin+1−TinΔt=12(DTi+1n−2Tin+Ti−1nΔx2+DT¯i+1n+1−2T¯in+1+T¯i−1n+1Δx2)+Qin+12 这个的稳定性好像也是r=DΔt/Δx2<1,跟Euler一样 Crank-Nicolson格式 但...
Crank-Nicolson差分格式广泛应用于各种偏微分方程的数值求解中,特别是热传导方程和扩散方程。它具有以下优点: - 稳定性好:Crank-Nicolson差分格式是一个隐式方法,对于稳定性要求较高的问题特别有效。 - 精度高:与显式方法相比,Crank-Nicolson差分格式具有二阶精度,可以获得更准确的数值解。 - 收敛速度快:由于其隐式...
下面是推导Crank-Nicolson方法应用于热方程的过程: 我们考虑一维热方程,形式为: [\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}] 其中,(u(x, t))是温度场,(\alpha\)是热扩散系数。 首先,我们将时间和空间进行离散化。假设在时刻(t_n)和位置(x_i)处的温度值为(u...
Crank-Nicolson 方法 为了解决这个麻烦,一个简单的改进是使用中心差分来近似一阶微分 ddtΨ(t)≈Ψ(t+h)−Ψ(t−h)2h, 并将方程另一头用平均值替代 全都带入原方程,得到(作了一点简单的变量代换) 这样得到的式子,容易验证波函数的模值是守恒的(不计入截断误差)。尽管每一步都涉及到矩阵方程求解(求一...
Crank-Nicolson 格式使用了两个时间步骤,将参数因子从1改变成1/2,以节省计算量,但同时增加了计算量,因为会变为二次方程,需要求解对称矩阵。此外,由于 Crank-Nicolson 格式是一种 有限差分 数值方法,其精度与时间步长成正比,当时间步长减小时,计算量会大大增加,此时它的性能会大打折扣。 在实际应用中,Crank-...
编程大作业,本节为第三节:实现Crank-Nicolson格式迭代。 (声明:本系列发布的所有内容都不是官方标准答案,仅供参考) 二、作业要求 三、作业内容 下面是作业内容的图片版本,共9页。 发布于 2024-05-13 16:45・IP 属地湖南 内容所属专栏 计算物理
运用待定系数法,对Crank-Nicolson格式进行了改进,得到一新的具有3阶精度的HAUC2格式。新格式有非保守型和保守型两种。对质量输移对流方程计算表明,HAUC2格式的计算结果与精确解吻合良好,与原Crank-Nicolson格式相比计算精度得到明显改善。张小峰,张红武WanFang水科学进展...
对于Crank-Nicolson格式,截断误差主要来自于对导数的近似。由于我们使用中心差分来近似导数,所以截断误差的大小取决于空间步长Δx的大小。当Δx足够小时,截断误差可以忽略不计;但是当Δx较大时,截断误差就会显著影响数值解的精度。 为了推导截断误差,我们可以使用Taylor级数展开来近似f(u)和f(1-2u)中的函数。对于f(...