假设我们研究一个工程问题，需要确定一根杆的长度。由于测量误差的存在，我们无法得到完全准确的结果。这时，我们可以将每次测量得到的杆的长度表示为一个实数项，并构成一个实数列。假设该实数列有界，我们可以根据波尔查诺-维尔斯特拉斯定理找到其收敛的子列，从而得到杆的准确长度。例如，我们进行了5次测量，得到的...
波尔查诺-维尔斯特拉斯定理是指有界数列必有收敛子列。从极限点的角度来叙述致密性定理,就是:有界数列必有极限点。... 关注话题 管理 分享 百科 讨论 精华 等待回答 波尔查诺-维尔斯特拉斯定理(致密性定理) Ville Zuo 定义1 设 是一个实数序列。 (1)如果存在 使得 我们就说:序列 有上界,数...
这方面的一个十分普遍的结果是著名的波尔查诺-维尔斯特拉斯(Bolzano-Weierstrass)定理:任意有界序列 {xn} 都具有收敛的子序列。我们来分析这一定理的证明思路。假如 {xn} 有一子序列 {xnk} 收敛于 c, 那么在 c 点的任意小的邻域内都应含有 {xnk} 的无穷多项,因而也含有序列 {xn} 的无穷多项。以下将...
Ville Zuo:多元函数的极限与连续性 Ville Zuo:波尔查诺-维尔斯特拉斯定理(致密性定理) Ville Zuo:有界闭集上连续函数的性质 定义1设 E \subseteq \mathbb{R}^n,\ \bold x ∈ \mathbb{R}^n 。若存在 E 中的互…
波尔查诺-维尔斯特拉斯定理的证明,需要运用到实数完备性质。实数完备性质指的是,实数集合中的每一个无限子集都可以用实数集合中的一个点来表示。这个性质是数学中一个基本的理论,它基本上能够解决实数集合中的大多数问题。 根据波尔查诺-维尔斯特拉斯定理,我们可以知道一个无限的单调递增数列一定是有界的,并且他...
利用魏尔斯特拉斯聚点定理即可证明致密性定理。考虑有界数列{xn}：1、若{xn}中有无穷多项相等，则取这些相等的项为子列。2、若不含无穷多相等项，则{xn}为一有界无限点集，由聚点定理可知，{xn}存在聚点x0。任取a>0，存在xn1使得|xn1-x0|...
根据波尔查诺-维尔斯特拉斯定理，我们首先可以确定，任意一个有界数列中至少存在一个收敛的子序列。这意味着，即使数列本身并不收敛，其元素仍然能够通过选取特定的子序列而达到收敛。这一特性对于理解数列的性质和行为提供了深刻的洞见。具体而言，定理指出，有界无限集合E至少有一个极限点（但此极限点不...
Bolzano-Weierstrass 定理的意思其实可以简单地表述为:每一个有界的实数列都有收敛的子数列。我们知道:有界数列不一定收敛。但上面的定理告诉我们,它的一个子数列一定收敛。有限覆盖定理实际上是紧集(compact set)的一个特例。在实数集上,所有的闭区间都是紧集。此处定理的意思是:无论你用了多少开区间“盖住”一个...
波尔查诺-维尔斯特拉斯定理是指定义在紧集上的连续实值函数有界且有最大值和最小值。