假设我们研究一个工程问题，需要确定一根杆的长度。由于测量误差的存在，我们无法得到完全准确的结果。这时，我们可以将每次测量得到的杆的长度表示为一个实数项，并构成一个实数列。假设该实数列有界，我们可以根据波尔查诺-维尔斯特拉斯定理找到其收敛的子列，从而得到杆的准确长度。例如，我们进行了5次测量，得到的...
这方面的一个十分普遍的结果是著名的波尔查诺-维尔斯特拉斯(Bolzano-Weierstrass)定理:任意有界序列 {xn} 都具有收敛的子序列。我们来分析这一定理的证明思路。假如 {xn} 有一子序列 {xnk} 收敛于 c, 那么在 c 点的任意小的邻域内都应含有 {xnk} 的无穷多项,因而也含有序列 {xn} 的无穷多项。以下将...
Ville Zuo:多元函数的极限与连续性 Ville Zuo:波尔查诺-维尔斯特拉斯定理(致密性定理) Ville Zuo:有界闭集上连续函数的性质 定义1设 E \subseteq \mathbb{R}^n,\ \bold x ∈ \mathbb{R}^n 。若存在 E 中的互…
该定理的中文名称来自两位数学家波尔查诺和维尔斯特拉斯,他们著名的开发和证明该定理,之后该定理开始在数学领域中广泛应用。 首先来看一下什么是单调有界性质。一个单调递增数列,是指每一项都比前一项大,一个单调递减数列,是指每一项都比前一项小。而一个有界数列,是指其所有项都在某个范围之内。 如果一个数列...
根据波尔查诺-维尔斯特拉斯定理，我们首先可以确定，任意一个有界数列中至少存在一个收敛的子序列。这意味着，即使数列本身并不收敛，其元素仍然能够通过选取特定的子序列而达到收敛。这一特性对于理解数列的性质和行为提供了深刻的洞见。具体而言，定理指出，有界无限集合E至少有一个极限点（但此极限点不...
利用魏尔斯特拉斯聚点定理即可证明致密性定理。考虑有界数列{xn}：1、若{xn}中有无穷多项相等，则取这些相等的项为子列。2、若不含无穷多相等项，则{xn}为一有界无限点集，由聚点定理可知，{xn}存在聚点x0。任取a>0，存在xn1使得|xn1-x0|...
波尔查诺维尔斯特拉斯定理 你想啊,在那一堆乱糟糟的数列里,就像在一个特别杂乱的房间里找东西一样。这个定理就像一个超级聪明的小助手,它告诉我们,哪怕数列看起来毫无规律,就像调皮的小精灵在乱蹦跶,但只要满足一定的条件,就一定能在这个数列里找到一个收敛的子数列。这就好比在一群调皮捣蛋的孩子里,总能...
Bolzano-Weierstrass 定理的意思其实可以简单地表述为:每一个有界的实数列都有收敛的子数列。我们知道:有界数列不一定收敛。但上面的定理告诉我们,它的一个子数列一定收敛。有限覆盖定理实际上是紧集(compact set)的一个特例。在实数集上,所有的闭区间都是紧集。此处定理的意思是:无论你用了多少开区间“盖住”一个...
波尔查诺-维尔斯特拉斯定理是指有界数列必有收敛子列。从极限点的角度来叙述致密性定理,就是:有界数列必有极限点。... 关注话题 管理 分享 百科 讨论 精华 等待回答 波尔查诺-维尔斯特拉斯定理(致密性定理) Ville Zuo 定义1 设 是一个实数序列。 (1)如果存在 使得 我们就说:序列 有上界,数...