1、(λα,λα)=(Aα,Aα)=(Aα)^T(Aα)=α^TA^TAα 2、即正交矩阵的特征值只能是1或-1。 3、实数方块矩阵是正交的,当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基,它为真当且仅当它的行形成R的正交基。 4、假设带有正交(非正交规范)列的矩阵叫正交...
正交矩阵的特征值: 正交矩阵的特征值一定是1或-1。 证明: 设λ是正交矩阵A的特征值,x是A的属于特征值λ的特征向量。即有Ax=λx,且x≠0。 两边取转置,得x^TA^T=λx^T。 所以x^TA^TAx=λ^2x^Tx。 因为A是正交矩阵,所以A^TA=E(E为单位矩阵)。 所以x^Tx=λ^2x^Tx。 由x≠0知x^Tx是一个非...
特征值、特征向量与变换是高等代数的灵魂,而正交变换是唯一没有发生形变的变换,由旋转和反射构成。本篇文章利用9个章节专门讨论幺正变换(矩阵)及正交变换(矩阵)的特征值、特征向量与准对角化。内容直观、全面、严谨,建议收藏。当然幺正变换(矩阵)及正交矩阵(矩阵)只是一类特殊的矩阵,我们在文章 数学达人上官正申:特...
即正交矩阵的特征值只能是1或-1。 如果AAT=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A的转置矩阵”)或ATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵,因此总是属于正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵,但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。 正交矩阵毕竟是从内积自然引出的,所以对于复数的矩阵这导...
不一定，比如[0，-1;1，0]可能有些教材上会有一条定理是:如果正交矩阵存在特征值，那么特征值一定...
一定等于1或-1。证明如下：设λ是正交矩阵A的特征值，x是A的属于特征值λ的特征向量，即有 Ax = λx,且 x≠0。两边取转置，得 x^TA^T = λx^T 所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx，因为A是正交矩阵,所以 A^TA=E，所以 x^Tx = λ^2x^Tx，由 x≠0 知 x^Tx 是一个非零的数，故 λ...
证:设A是正交矩阵,λ是A的特征值,α是A的属于λ的特征向量则A^TA = E (E单位矩阵),Aα=λα,α≠0考虑向量λα与λα的内积.一方面,(λα,λα)=λ^2(α,α).另一方面,(λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα =α^Tα = (α,α).所以有 λ^2(α,α) = ...
它们具有许多独特的性质,其中一个重要的特性就是其特征值一定是1或-1。这一特点对于理解和应用正交矩阵有着重要的意义。让我们从几个方面来探讨这一特性。 正交矩阵的定义及性质 正交矩阵是一种特殊的正方形矩阵,它满足正交条件,即矩阵的转置等于其逆矩阵。换句话说,正交矩阵的列向量(或行向量)是正交单位向量。
矩阵的特征值为1,则其对应的特征向量就是正交的.因此对于正交矩阵来说,正交性与矩阵的秩(大小)无关.所以在讨论一个矩阵的特征值时,只需要看它的特征值中有没有1即可. 例如:对于正交矩阵,对角线上元素都相等,所以正交矩阵的特征值全部为1. 正交矩阵的对称性是正交矩阵的重要属性之一。若 A 是 n 阶实对称...