参考文献: 1.幂法 1.1. 基本公式 1.2. 1.3. 1.4.基于正交变换的收缩技巧 1.5.幂法的问题 2.反幂法 2.1.反幂法 2.2.Rayleigh商迭代 3.达到机器精度,初始向量选取 3.1达到机器精度 3.2.初始向量选取 错误在所难免,如有错误欢迎批评指正。 参考文献: 《数值线性代数》徐树方 《数值计算方法》黄云清 《Numerical...
幂法(指数迭代法) 幂法是通过迭代来计算矩阵的主特征值(按模最大的特征值)与其对应特征向量的方法,适合于用于大型稀疏矩阵。 1 基本定义# 设A=(aij)∈Rn×nA=(aij)∈Rn×n,其特征值为λiλi,对应特征向量xi(i=1,...,n)xi(i=1,...,n),即Axi=λixi(i=1,...,n)Axi=λixi(i=1,...,n)...
在反幂法中也可以用原点平移法来加速迭代过程或求其他特征值及特征向量。 如果矩阵(A-pI)-1存在, 对其应用幂法,得反幂法的迭代公式 如果p是A的特征值λj的一个近似值,且设λj与其他特征值分离,即 |λj-p|<<|λi-p| (i≠j), 就是说1/(λj-p)是(A-pI)-1的主特征值,可用反幂法(2.11)计算...
幂法是一种迭代算法,用于求解矩阵的主特征值及其对应的特征向量。其通过不断迭代矩阵与向量的乘积,并配合归一化和比值计算,逐步逼近绝对值最大的特征值。该方法适用于大型稀疏矩阵,在结构分析、量子力学等领域有广泛应用。以下从基本原理、迭代步骤、加速方法及实际应用等方面展开说明。 一、...
幂法计算过程 反幂法: 反幂法用来计算矩阵绝对值最小的特征值及对应的特征向量。设非奇异矩阵A的特征值为 \lambda_i 和特征向量 x_i ,则根据特征方程的性质可得: A^{-1}x_i=\cfrac{1}{\lambda_i}x_i \\ 故,用幂法求解 A^{-1} 的最大特征值等价于求解A矩阵的最小特征值,而特征向量不会变化...
幂法分析 §5-1 幂法 一、幂法分析幂法是用来计算实方阵的按模最大的特征值及相应特征向量的一种迭代法设n阶实方阵A有n个线性无关的特征向量u1,u2,L,un,相应的特征值分别为λ1,λ2,L,λn,并按其绝对值的大小排列即 λ1>λ2≥L≥λn 任给初始向量x0≠0由迭代公式得到向量序列{xk}所以 xk+1=...
幂法的基本思想是利用一个非零向量的矩阵幂序列逐渐逼近矩阵的主特征向量。主特征向量对应矩阵的最大特征值,因此通过逼近主特征向量,我们也能够得到矩阵的最大特征值。 算法步骤如下: 1.随机选择一个非零向量b作为初始向量。 2.计算矩阵A乘以向量b的结果,得到向量b1,即b1=A*b。 3.对向量b1进行归一化,使其成...
答幂法是一种计算矩阵主特征值及对应的特征向量的迭代方法.若A的主特征值是单的且满足条件则幂法收敛到λ1的速度由比值r=|(λ_2)/(λ_1)| 来决定,r越小收敛越快,当r=|(λ_2)/(λ_1)|∼1 时收敛就很慢改进幂法的收敛速度可以采用原点平移法或瑞利商加速方法.所谓原点平移法就是适当选择参数p,引...
9.2幂法的加速与降阶 9.2.1加速 问题:幂法的收敛速度与 \left|\lambda_{2} / \lambda_{1}\right| ,当这个值接近1时收敛比较慢. 解决:用 \mathbf{A}-\lambda_{0} \mathbf{I} 代替\mathbf{A} ,使得 \left|\left(\lambda_{2}-\lambda_{0}\right) /\left(\lambda_{1}-\lambda_{0}\right)...