勒让德多项式(Legendre polynomials)是指在[-1, 1]区间上定义的一组正交多项式。这些多项式在物理学、工程学和数学中有着广泛的应用,特别是在球谐函数、积分方程和数值分析中。 勒让德多项式的定义 勒让德多项式Pn(x)是以下二阶常系数线性微分方程的解: ...
勒让德出身于一个富裕家庭,就读于巴黎的马扎林(Maza-rin)学院.他受过科学教育,特别是数学方面的高等教育.他的数学老师 J.F.M.阿贝(Abbè)是一个小有名气并且在宫庭中受到尊敬的数学家.1770年勒让德18岁时,就在阿贝的主持下通过了...
勒让德多项式也可以用罗德里格斯公式表示 Pl(x)=12ll!dldxl(x2−1)l(4) 由于求导会改变函数的奇偶性, 由上式可以证明当 l 为偶(奇)数时 Pl(x) 是偶(奇)函数, 所以只有 x 的偶(奇)次方项. 正交归一性质 归一化系数为 Al=2l+12(5) 满足正交归一化条件 ∫−11Al′Pl′(x)⋅AlPl(x)...
勒让德多项式 我们知道,在球坐标系中对亥姆霍次方程分离变量得到这样的常微分方程: ,现在令 ,则方程化为 ,该式称为连带勒让德方程。 我们先讨论一种简单情况,令m=0,则其退化为勒让德方程。 我们首先求在x=0邻域的级数解。这里首先要说明,邻域并不像很多人认为的那样,是一个无穷小的开集。实际上,在微分...
16.1.2 勒让德多项式的微分表达式—洛德利格斯公式 为了讨论问题和计算上的方便,我们介绍勒让德多项 式的另一种微分形式表示法,即所谓的洛德利格斯公式 Pl (x) = 1 2l l ! dl dxl (x2 −1)l . (16.1.8) 证 按二项式展开,有 ∑l (x2 −1)l = (−1)k l ! x2l−2k . k=0 k...
在多项式中,勒让德符号可以用来表示多项式的阶乘。例如,在泰勒级数中,勒让德符号可以用来表示多项式的展开式中每一项的系数。 此外,在物理学中,勒让德符号也经常出现在波函数、量子力学、统计物理学等领域的计算中,用来表示粒子的波函数和能级的计算。 总之,勒让德符号在数学和物理学中都有重要的应用,它是一个基...
m阶n次连带勒让德方程: m阶n次第一类连带勒让德函数(上述方程的解): n次勒让德方程: n次勒让德函数包括两个基本解: 第一类勒让德函数: n次勒让德多项式: n=0和正整数时,多项式解称为n次勒让德多项式 n次勒让德多项式的零点:=0的x值
$$ 又因$$ ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { n } $$“是2n次首1多项式,所以 $$ \frac { d ^ { 2 n } ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { n } } { d x ^ { 2 n } } = ( 2 n ) ! $$ 于是当 $$ n \geq m 时,由分部积分可得 \\ J _ { n , m } = \int _ { -...
勒让德多项式前5项分别为:P0(x) = 1,P1(x) = x,P2(x) = 1/2 * (3x²-1),P3(x) = 1/2 * (5x³-3x),以及P4(x) = 1/8 * (35x⁴-30x²+3)。以下是对这五项的详细展开: 第一项:P0(x) P0(x)是勒让德多项式序列中的第一项,它是一个常数...