欧氏空间上的余切空间 注:余切,cotangent。 现在\mathbb{R}^n上\textbf{0}点处的切空间已经定义完成了,那什么是余切向量呢?微积分里好像没有这个概念吧。实际上,余切向量就是\mathbb{R}^n上实函数f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}的Jacobian矩阵 D f|_\textbf{0} = \begin{pmatrix} {\partial f_1...
2)光滑流形上每一点处都有一个切空间,它具有一个自然基底 \{\frac{\partial}{\partial x^0}, ..., \frac{\partial}{\partial x^m}\}; 2.3 切空间变换 流形只能局部同胚于一个欧式空间,所以光滑流形上每一点处的切空间是不同的,我们需要考察两个不同的切空间之间的变换关系。
余切空间(cotangent space)的几何意义是切空间的对偶空间。在微分流形上,余切空间可以理解为局部标量场的对偶空间,即一组相互平行的超平面构成的集合,这些超平面由切空间中的向量场确定。 在更一般的微分流形上,余切空间也得以体现和推广。通过对余切空间的了解和分析,可以进一步探讨微分流形上的向量场、张量场等重要概念...
余切空间是切空间的对偶空间，它包含所有线性函数的集合，这些线性函数将切向量映射到实数。例如，在曲线上的某个点P处，余切空间是指通过P点的所有线性函数的集合，这些线性函数将切向量映射到实数。余切空间也是一个向量空间，因为线性函数可以进行加法和数乘运算，并且满足向量空间的所有公理。在实际应用中，余切空间...
余切空间是在一个点上的向量空间。余切丛就是所有余切空间的disjoint union,把每个点上的余切空间拼起来就是余切丛,不同点上的余切空间是不交的。但我们一般不用disjoint union去定义余切丛。因为disjoint union是集合的观点,不能反映整体结构。就好比R^2(二维欧式空间),我们一般不会说R^2是“R那么多条直线(一维...
为什么要余切空间 以三维空间为例。对于平直空间，可以用一个坐标系（X,Y,Z）描述，X,Y,Z 代表三根坐标轴。对于一般流形（一句话描述之：在每一点只存在一个唯一的切线或者切平面的玩意儿。因此折线之类的东东，即使连续，也不是流形），只能采用局域坐标系来描述，此时通常在平直空间中讨论的量A，需要换成它...
而余切空间,是光滑流形上某点处的切空间的对偶空间或共轭空间,即切空间上的全体线性函数构成的空间。 令光滑流形 上的点 处的切空间为 则 在 处的余切空间为 将光滑流形 上的全体光滑函数记为 设 则 的自然基底是 称余切空间上的向量为余切向量,那么余切向...
微分几何入门：探索流形、切空间与余切空间的奥秘 在泽鱼fish的精彩笔记中，我们踏上微分几何的探索之旅，深度剖析了两个核心概念：形式观点和内容观点，它们分别揭示了映射方向和变换规则的精髓。Einstein的求和约定为我们的理解提供了简洁的桥梁，让我们深入理解映射的像集与原像集，以及它们如何在映射操作...
具体而言，[公式]代表点函数，而[公式]代表向量函数，函数的这种提升是其特殊性的关键。综上所述，我们面临的是多种不同空间的构建：最基础的是函数空间，即基本函数的线性组合，复杂而抽象；几何空间即切空间，对应流形上一点的几何结构，直观且实体；余切空间则是函数微分的展开，虚拟且难以直接绘出，...