集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。定义 简介 集合论...
数学的一个基本的分支学科,研究对象是一般集合。集合论在数学中占有一个独特的地位,它的基本概念已渗透到数学的所有领域。集合论或集论是研究集合(由一堆抽象物件构成的整体)的数学理论,包含了集合、元素和成员关系等最基本的数学概念。在大多数现代数学的公式化中,集合论提供了要如何描述数学物件的语言。集合论和...
上述这些内容,就是康托尔提出的“集合论”的基本原理;及其包括许多人,对其作了的“修改、补充、完善”后的传统数学“集合论”。(这也是当今流行的教科书中,对集合论所作介绍的内容) 二、分析集合论 在当今,集合论被认为是整个数学的基础。不过,康托尔的集合论并不是完美无缺的。传统的集合论尽管经过一再修补、...
设X 是一个集合,我们常用 \mathscr{P}(X) 表示X 的所有子集构成的集族,称为集合 X 的幂集(Power Set)。例如,集合 \{1,2\} 的幂集是 \mathscr{P}(\{1,2\})=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}。 本文介绍的集合论是所谓的“朴素的”集合论。在这种集合论中,“集合”和“元素”等基...
【自学课堂】集合论(2) 3.公理 我们现在尝试去搭建我们的公理体系并且努力让每一个公理直观含义都清晰 我们假设第一个原理:宇宙不是空虚的,总会有集合存在。说的具体点,我们会假设存在一个特定的集合,这个集合就是空集。 存在公理存在一个没有要素的集合 ...
集合A有n个元素,则A上有多少个即具有对称性又具有反对称性的关系? 2n2n(取对角线元素)关系的性质总结:关系的闭包:R 的自反闭包、对称闭包和传递闭包分别记为r(R),s(R),t(R) ,也称r, s,t为闭包运算,它们作用于关系R后,产生包含R的最小的自反、对称、传递的关系。
这就称为概括原理，它是对于集合的逻辑主义理解的基础，这样理解的集合论称为朴素集合论、虽然其朴素性是后来才看出来的。这个原理被认为是一个基本的逻辑法则，所以，整个集合理论只不过是初等逻辑的一部分。策墨罗-罗素悖论表明，概括原理是会引起矛盾的，要想说明这件事，只需陈述一个看起来尽可能基本、尽可能...
先来看看康托尔对集合的定义:“一个集合是我们知觉中或理智中的、确定的、互不相同的事物的一个汇集,被设想为一个整体”。尽管康托尔本人已经建立起了相当广泛而深刻的集合理论,但对于集合本身的定义却还是含糊的,他的理论被称为“朴素集合论”(Native Set Theory)。虽然试图描述集合的每个属性,但其中“汇集”、...
根据2019年发表的《康托悖论、可能世界与集合论(Cantor Paradoxes, Possible Worlds, and Set Theory)》一文,集合论中所有倾向于“无矛盾真理”的探索都会导致矛盾。 甚至所有常被认为能够提供“可能世界”或“可能真理”的结构或概念,根据该文章的作者们,也不应该被视为集合,因为即使是“世界”这一概念在集合论中...