当μi 都是σ 有限的时候,积测度满足交换律, M1⊗M2⊗M3=(M1⊗M2)⊗M3: 接下来介绍积空间 X\times Y 上子集 E 的的x-section E_x 和y-section E^y,以及函数 f:X\times Y\to \mathbb{F} 的x-section f_x 和y-section f^y: 以下定理分析了x-section和y-section的可测度性质: 为了证明...
一、两个测度空间的情形 设(X,F,μ),(Y,G,ν) 是两个测度空间,做笛卡尔积 X×Y={(x,y):x∈X,y∈Y} 欲在其上建立测度。首先是建立 σ 代数,自然想到 C={A×B:A∈F,B∈G} C 中集称为可测矩形,但 C 并非σ 代数,但只需取 F×G=σ(C) 即可。于是我们得到了可测空间 (X×Y,F×G)...
定理5.3.3：表明这些测度满足乘积性质，即乘积测度在投影映射下保持一致性。相容性定理：确保了投影映射下测度的兼容性，为乘积测度空间的构建提供了理论基础。对于任意无穷维情况，通过相关定理能够将无穷维问题转化为可数无穷维问题，从而得以解决。定理5.5.3：总结了任意无穷维乘积概率空间中测度的存在...
上的Radon 测度,且X,Y{\displaystyle X, Y} 第二可数,那么它们按上面定义的乘积测度μ×ν{\displaystyle \mu \times \nu} 是X×Y{\displaystyle X \times Y} 上的Radon 测度。但是如果X,Y{\displaystyle X, Y} 不是第二可数的,那么乘积测度就可能不再是 Radon 的。这方面的详细讨论详见Radon 乘积。
📖 乘积测度的定义:乘积测度需要满足两个条件,即各自取截口后的测度是可测的,并且计算乘积空间上的“面积”可以交换截口顺序。🔄 Tonelli定理与Fubini定理:很多教材上的Fubini定理实际上是Tonelli定理,这两个定理相生相随,因此也没必要泾渭分明了。💡 证明思想:证明可测函数成立可以先从证明测度成立开始,测度成立...
乘积测度空间例子 设(Ω1,F1,μ),(Ω2,F2,ν)是两个σ有限的测度空间,则在F1×F2上存在惟一的σ有限测度λ,使对任何可测矩形A×B,恒有$\lambda(A×B)=μ(A)\times ν(B)$,通常称λ为μ与ν的乘积测度,记为$\lambda=μ×ν$,并称测度空间$(Ω1×Ω2,F1×F2,μ×ν)$为(Ω1,F1,μ)与...
笔记的最终章，我们首先探讨了两个测度空间的乘积测度，通过构造[公式] 代数，定义了可测矩形，并利用[公式] 定理确保了生成的测度代数。定义了[公式] 系后，我们通过定理5.1.2验证了对任意[公式] ，截口都是可测的，从而定义了乘积测度。在有限测度空间的背景下，定理5.1.3确保了存在唯一满足条...
接着，通过重积分的理论，如单调类定理，阐述了如何将重积分转化为累次积分。在概率空间中，通过构造[公式] 代数，定义了可数无穷维乘积概率测度，其定义的连续性和可列可加性确保了测度的合理性。重要定理5.3.3表明，这些测度满足乘积性质，即[公式]。相容性定理则确保了投影映射下测度的兼容性。对于...
非σ-无限测度的乘积测度.pdf,摘要 本文设T,x是完备可分的度量空间,T×x是乘积空间。设”是T上的完 备的Borel概率测度,t是x上的预测度.从u和r出发,我们可以通过两种 不同方式定义乘积空间T×x上的测度。我们证明在r是一.有限的情形下,这 两种方式定义的测度都等于T×
很明显, \mathbb{R}^2 中的一条线段显然是零测度(面积是0),但考虑其对线段的切片,它不是零测度(有正长度)。 不必气馁,我们做一点观察就可以发现,尽管在有一些地方可能不是零测,但切片应该在“绝大多处地方”都是零测的,也就是“几乎处处零测”。如果不是在绝大多数地方都是零测,直观上会有矛盾。矛盾...