常微分方程初值问题(IVP)即为一种最常见的微分方程求解问题,其求解方法有多种,本文将对常微分方程初值问题的数值解法进行较为详细的介绍。 一、欧拉法 欧拉法是最基本的一种数值解法,它采用泰勒级数展开并截断低阶项,从而获得一个差分方程近似求解。具体来讲,设t为独立变量,y(t)为函数y关于t的函数,方程为: ...
常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题数值解法 初值问题:即满足初值条件的常微分方程的解 y′=f(x,y),x∈[x0,b] y(x0)=y0. 首先,常微分方程得有解-- -有解条件- ---利普希茨条件--- 定理1 (利普希茨条件)若存在正数 L,使得对任意 ,y1,y2 ,有 |f(x,y1)−f(x,y2)|≤L|(...
01常微分方程初值问题概述 定义与分类 定义 常微分方程初值问题描述了一个系统随时间变化的规律，给出了系统在初始时刻的状态。分类 根据微分方程的性质和初始条件，常微分方程初值问题可以分为多种类型，如一阶、高阶、线性、非线性等。数值解法的必要性 实际应用需求 许多实际问题需要求解常微分方程初值问题，如物理...
第九章常微分方程初值问题的数值解法 §1引言 yxfx,yx 称为一个一阶的常微分方程.这里y(x)是x的函数.一个一阶的常微分方程的解是一族函数(带有任意常数).如果对上述方程再加上一个初始条件:yfx,yyx0y0 例:称为一个一阶...
常微分方程初值问题的数值解法 预备知识 一阶常微分方程初值问题指的数值解法：在指定的区间[a,b]中的点列xk=x0+k*h(k=0,1,…,n)的近似值yk。即求解函数y(x)一欧拉法二龙格库塔法(R-K)多步法代表是Adams法 §1 欧拉法 y(xh)y(x)y'(x)h 1)欧拉法根据导数的定义离散化之后，有：...
分析:微分方程用数值方法离散后即变成差分方程,单步法导出的差分方程通常是关于数值解序列 的一个递推公式,因此问题变为已知数列首项和递推公式求数列通项公式,收敛性即是数列极限。 解:梯形公式 对本问题 于是梯形公式的解 即 因为,易得 显然初值问题的准确解为 对于固定的点 ,准确解在该点的值为 而数值解...
常微分方程初值问题数值解法 一、问题提出 科学计算中经常遇到微分方程(组)初值问题,需要利用Euler法,改进Euler法,Rung-Kutta方法求其数值解,诸如以下问题: (1) (3) (4)利用四阶标准R- K方法求二阶方程初值问题的数值解 二、问题分析 使用Euler法求解,运算程序简单,但是计算结果准确度不高。使用改进的Euler法求...
1几个简单的数值积分法 1.1 Euler方法 (1)向前Euler公式(显式Euler公式) (2) 其中 为步长。由此便可由初值 逐步算出一阶常微分方程初值问题(1)的解 在节点 处的近似值 。 该公式的局部截断误差为 ,是一阶方法。 (2)向后Euler公式(隐式Euler公式) (3) 这是一个隐格式,也是一阶方法。这类隐格式的计...