计算前,先给出图2双纽线绕极轴旋转所产生的图形,如下图4所示。 图4 同理,图2双纽线绕垂直于极轴(y轴)旋转产生的图形,见下图5所示。 图5 注:以上图4、图5来源于: 还是分曲线绕x轴、y轴两种情况讨论。这里,先引入以下两个重要结论。 *NOTE→极坐标曲线的旋转体积 ①极坐标曲线r(θ)绕极轴旋转一周形...
作双纽线\nu上的一点(r_0,\theta_0)的切线方法为：先作直线\theta=3\theta_0，然后过点(r_0,\theta_0)作直线\theta=3\theta_0的垂线。该垂线就是所求切线，该方程式“点斜式”，如若我们要证明这种方法的正确性，即证明双纽线\nu上的一点，该点切线斜率与我们所作垂线斜率相等。两直线垂直，斜率之积...
卡西尼椭圆是描述在平面上与两个给定焦点 F1 和 F2 的距离之积等于常数 b^2 的点的集合。当焦点间的距离等于 2b 时，卡西尼椭圆就会变成伯努利双纽线。在1694年，瑞士数学家雅各布·伯努利在研究卡西尼椭圆时发现了这个特殊情况。他注意到，在这个特定条件下，卡西尼椭圆形成了一个连通的、类似于无限符号（∞）的...
双纽线方程是ρ^2=a^2*cos2θ,要化成参数方程,根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,将ρ=a√cos2θ,代入即得参数方程:x=a√(cos2θ)cosθ,y=a√(cos2θ)sinθ,这里的参数为θ。双纽线也称伯努利双纽线,设定线段AB长度为2a,动点M满足MA*MB=a^2,那么M的轨迹称为双纽线。ρ^2=a^2*cos2θ的导数方程:...
双纽线的极坐标方程为: 上网搜“双纽线的极坐标方程",有时式中少了系数“2”,这是因为对a的定义不同,如下图所示: 原因是无“2”的方程中a是双纽线与x轴交点的横坐标绝对值,是两定点之间距离一半的根号2倍。这样设a可能是与椭圆的情况类似。这也有道理,因为椭圆标准方程中也是...
双纽线，也称伯努利双纽线，设定线段AB长度为2a，若动点M满足MA*MB=a^2，那么M的轨迹称为双纽线。双纽线是卡西尼卵形线和正弦螺线等曲线的特殊情况。双纽线可通过等轴双曲线经过反演得到，即它是双曲线关于圆心在双曲线中心的圆的反演图形。双纽线在数学曲线领域的地位占有至关重要的地位， 对于...
另一个双纽线的方程是：ρ＾2＝a＾2＊sin2θ 极坐标方程下：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 导数方程 ρ＾2＝a＾2＊cos2θ的导数方程：ρ＝－1＊sin（2θ）＊cos（2θ）＾（－0．5）ρ＾2＝a＾2＊sin2θ的导数方程：ρ＝sin（2θ）＾（－0．5）＊cos（2θ），双纽线可通过等轴双曲线...
伯努利双纽线是一种二次曲线，以瑞士数学家雅各·伯努利命名。这种曲线具有特殊的对称性质和美观的形状，因此在工程、艺术等领域都有广泛的应用。接下来我将从几何结构、数学公式和实际应用三个方面深入介绍伯努利双纽线。二、几何结构 伯努利双纽线是由两个相互缠绕的圆柱体组成的，因此其图案看上去非常像蝴蝶的翅膀...
令双纽周率\varpi(OEIS A062539)为: 则有: 这就得到了双纽正弦和双纽余弦。 双纽正弦和双纽余弦之间满足关系: 双纽函数可以用雅可比椭圆函数表示: 由于有: 可以得到: 双纽函数的反函数拥有展开式: 根据双纽周率\varpi,可以给出\Gamma函数在四分之一处的特殊值: ...