定理2.12函数f(x)为凸函数当且仅当其上图epif是凸集. 定义2.17(强凸函数)若存在常数m>0, 使得 g(x)=f(x)−m2‖x‖2 为凸函数,则称f(x)为强凸函数,其中m为强凸参数. 为了方便,也称f(x)为m-强凸函数. 由g(x)是凸函数的定义以及等式θ‖x‖2+(1−θ)‖y‖2−‖θx+(1−θ)...
局部最小值是全局最小值:凸函数的一个重要性质是,定义在凸集上的任何局部最小值也是全局最小值。这是凸函数的一个核心特征,它在优化问题中非常有用。 加法与标量乘法保持凸性:如果f和g是凸函数,则f+g和αf(其中α≥0)也是凸函数。 闭合性:函数的闭合性指的是,如果一系列凸函数逐点收敛到一个函数,那么这...
1凸函数、凸集定义2.凸函数性质1)定义2)线性关系 3)严格凸函数4)凹函数与凸函数性质相反 5)判定 二阶导>0/正定,凸函数;<0/负半定,凹函数。 6)凸优化中,局部极小点就是全局极小点。 math: 凸函数、拟凸函数和保凸运算 ;2f(x)⪯0R上的例子 指数函数。对任意a∈R,函数eax在R上是凸的幂函数。当...
函数ff 是严格凸的,如果以上不等式在 x≠yx≠y ,且 0<θ<10<θ<1 时也成立. 函数ff 是凹的,当 −f−f 是凸的,严格凹,当 −f−f 是严格凸的。 仿射函数既是凸的也是凹的,反过来,既凹又凸的函数是仿射的。 一个函数是凸的当且仅当对任意 x∈domfx∈domf 和任意 vv ,函数 g(t)=f...
在数学中,如果一个函数在它定义的整个区间上满足以下性质,那么它就是一个凸函数:对于任意两个点x和y以及任意一个实数t(0 ≤ t ≤ 1),函数在点tx + (1 - t)y的值小于或等于在点x和点y的函数值的加权平均,也就是说,凸函数的图形在两点之间的弦的下方。
凸函数是一类重要的数学函数，指函数图像在任意两点之间的部分均在它们之间或者它们之上。以下是凸函数的一些主要性质：1. 一阶导数递增：如果一个函数是凸函数，那么它的一阶导数在定义域内单调递增。2. 二阶导数非负：如果一个函数是凸函数，那么它的二阶导数在定义域内恒大于或者等于0。3. 上凸性和下凸性：...
凸集、凸函数、凸优化和凸二次规划 凸集 定义1: 凸函数图像的上方区域,一定是凸集。 定义2: 集合C内任意两点间的线段均包含在集合C形成的区域内,则称集合C为凸集。 凸集: 非凸集: 例如: 保持凸集凸性的运算: (1)两个凸集的和为凸集 若S1、S2均为凸集,则S3 = S1+S2 = {x+y|x∈S1, y∈S2}也...
凹函数是一个定义在某个向量空间的凸集C(区间)上的实值函数f。设f为定义在区间I上的函数,若对I上的任意两点X1<X2和任意的实数λ∈(0,1),总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I上的凹函数。 凸函数是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C(...
1. 凸函数的定义与性质 严格凸函数：一个函数在其定义域内，对于任意两个不同的点，其函数值的连线总是位于函数图像上方，且等号不处处成立。这表示函数图像在任何点都没有“平坦”的部分。凹函数：如果一个函数是凸函数，则它的相反数是凹函数。凹函数图像在任何点都向上“弯曲”。一阶刻画：对于...