局部最小值是全局最小值:凸函数的一个重要性质是,定义在凸集上的任何局部最小值也是全局最小值。这是凸函数的一个核心特征,它在优化问题中非常有用。 加法与标量乘法保持凸性:如果f和g是凸函数,则f+g和αf(其中α≥0)也是凸函数。 闭合性:函数的闭合性指的是,如果一系列凸函数逐点收敛到一个函数,那么这...
定理2.12函数f(x)为凸函数当且仅当其上图epif是凸集. 定义2.17(强凸函数)若存在常数m>0, 使得 g(x)=f(x)−m2‖x‖2 为凸函数,则称f(x)为强凸函数,其中m为强凸参数. 为了方便,也称f(x)为m-强凸函数. 由g(x)是凸函数的定义以及等式θ‖x‖2+(1−θ)‖y‖2−‖θx+(1−θ)...
凸函数(Convex function):如果一个函数 f(x) 的二阶导数是非负的(即 f''(x) >= 0)对于定义域中的所有 x,那么我们称它为凸函数。 凹函数(Concave function):如果一个函数 f(x) 的二阶导数是非正的(即 f''(x) <= 0)对于定义域中的所有 x,那么我们称它为凹函数。 换句话说,凸函数的形状是"U...
函数ff 是严格凸的,如果以上不等式在 x≠yx≠y ,且 0<θ<10<θ<1 时也成立. 函数ff 是凹的,当 −f−f 是凸的,严格凹,当 −f−f 是严格凸的。 仿射函数既是凸的也是凹的,反过来,既凹又凸的函数是仿射的。 一个函数是凸的当且仅当对任意 x∈domfx∈domf 和任意 vv ,函数 g(t)=f...
凸函数是一类重要的数学函数，指函数图像在任意两点之间的部分均在它们之间或者它们之上。以下是凸函数的一些主要性质：1. 一阶导数递增：如果一个函数是凸函数，那么它的一阶导数在定义域内单调递增。2. 二阶导数非负：如果一个函数是凸函数，那么它的二阶导数在定义域内恒大于或者等于0。3. 上凸性和下凸性：...
1凸函数、凸集定义2.凸函数性质1)定义2)线性关系 3)严格凸函数4)凹函数与凸函数性质相反 5)判定 二阶导>0/正定,凸函数;<0/负半定,凹函数。 6)凸优化中,局部极小点就是全局极小点。 math: 凸函数、拟凸函数和保凸运算 ;2f(x)⪯0R上的例子 指数函数。对任意a∈R,函数eax在R上是凸的幂函数。当...
函数凹凸性的判断方法常用的有两种：一种是较为直观的几何判断方法，根据函数图像的趋势来判断：如果函数f在区间【a,b】上连续，在区间内任取两点，如果这两点之间的连线，保持在函数曲线上方，那么我们就能知道，这个函数在区间【a,b】上是凹函数，反之就是凸函数。如下图所示：另一种判断方法是观察函数二阶导数...
凸函数1(斯坦福凸优化笔记5) 1 基本性质和例子 1.1 凸函数 函数f:Rn→R是凸的,如果dom f是凸集,且对于任意x,y∈dom f和任意0≤θ≤1,有: f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y), 则称为函数是凸的。 称函数f是严格凸的,如果上式中不等式x≠... ...
证明：f为I上凸函数的充要条件是对任何x1,x2∈I，函数φ(λ)=f(λx1+(1-λ)x2)为[0,1]上...