\quad 非线性共轭梯度法的核心在于更新策略,它通过保持搜索方向的“共轭性”,使得每一步迭代尽可能朝向全局最优解。 步长\alpha_k 的推导 \quad 在非线性共轭梯度法中,步长 \alpha_k 通常通过线搜索方法确定,以确保沿当前搜索方向 p_k 最小化目标函数。这可以通过解决以下一维优化问题实现: \min_{\alpha} f...
最初,共轭梯度法是用来求解线性方程 Ax=b 的,称为线性共轭梯度法。后来,有人把这种方法扩展到了非线性优化问题中,称为非线性共轭梯度法。本文从基本的线性共轭梯度讲起,介绍它的思想和算法流程。 问题描述 共轭梯度法并不适用于任意线性方程,它要求系数矩阵对称且正定。我们会在后面逐渐提到为什么会有这样苛刻的要...
共轭梯度法最初由Hesteness和Stiefel于1952年为求解线性方程组而提出的。后来,人们把这种方法用于求解无约束最优化问题,使之成为一种重要的最优化方法。Fletcher-Reeves共轭梯度法,简称FR法。共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降方法相结合,利用已知点处的梯度构造一组共轭方向,并沿这组方向进行搜素,求出目标...
最速下降法 共轭梯度法最速下降法考虑线性方程组 Ax=bAx=b ,其中 AA 是对称正定阵,定义二次泛函φ(x)=xTAx−2bTxφ(x)=xTAx−2bTx定理5.1.1 设AA 对称正定,则 Ax=bAx=b 的解等价于二次泛函 φ(x)φ(x) 的极小值点.证明 事实上,直接计算梯度有grad...
共轭梯度法的核心思想是通过一系列共轭的搜索方向来逼近最优解。具体来说,对于一个对称正定的线性方程组Ax=b,共轭梯度法的步骤如下: 1.初始化解向量 和残差 。 2.计算初始搜索方向 。 3.进行共轭梯度迭代:重复以下步骤n次或直到收敛为止。 a.计算步长$\\alpha_k=\\frac{r_k^Tr_k}{d_k^TAd_k}$。
PCG是一种求解方程组的迭代法，特点有有快速收敛、存储量小等。预处理共轭梯度法是。不必预先估计参数等特点。共轭梯度法近年来在求解大型稀疏方程组中取得了较好的成效。理论上普通的共扼梯度法对于对称超正定方程，只要迭代步数达到方程的阶数就可以得到精确解，但实际上当系数矩阵的条件数(最大最小特征值之比)很大...
共轭梯度法(reaction-coordinate density technique,缩写为coAPD),是由美国著名的电化学家S.C.R.(赫维斯特)于1976年提出的,最早是应用于考察水溶液中蛋白质在二级胺诱导下的变性行为。后来,此方法被用于研究Cu(I)-Zn(II)氧化偶联反应,可用于测定其它一些金属离子。它能够选择性地催化多种反应,并且操作简便,灵敏...
称这组向量关于 Q 共轭。 定理:共轭向量组线性无关 定理:若非零向量组 P^0,P^1,\cdots,P^{m-1} 关于Q 共轭,那么这组向量线性无关, 证明: 用反证法。 若线性相关如 P^0=P^1+2P^2 那么 (P^1)^{\top}Q(P^0)=(P^1)^{\top}QP^1=0 与Q 正定矛盾。 定理:扩张子空间定理 定理: 设...
用梯度下降可以求解线性方程,这个效率不太高,于是有共轭梯度法来救场。 若干假设 接下来将在以下几个假设下推导出共轭梯度法: 首先CG作为一种梯度法,其核心要素在于下降方向与步长: xk+1=xk+αkdk其中dk是方向,αk是步长。 d0,d1,⋯,dN−1构成矩阵A导出内积空间下的正交基, ...