共轭梯度法(Conjugate Gradient, CG)是一种解决大规模线性方程组及二次优化问题的有效迭代方法,特别适用于系数矩阵是稀疏且正定的情况。该方法在数学和工程计算中广泛使用,下面是共轭梯度法的详细教程。 1. 理论背景 共轭梯度法旨在解决以下形式的线性方程组:Ax=b,其中 A 是一个正定对称矩阵。该算法也可用于寻找如下二
最初,共轭梯度法是用来求解线性方程 Ax=b 的,称为线性共轭梯度法。后来,有人把这种方法扩展到了非线性优化问题中,称为非线性共轭梯度法。本文从基本的线性共轭梯度讲起,介绍它的思想和算法流程。 问题描述 共轭梯度法并不适用于任意线性方程,它要求系数矩阵对称且正定。我们会在后面逐渐提到为什么会有这样苛刻的要...
2.3 共轭方向法基本过程 选择初始值 x0 以及初始搜索方向 d0 ,令 k=0 若满足终止条件 ||∇f(xk)||<ε,记 x∗=xk,结束整个算法 确定步长: αk=argminα>0f(xk+αdk),采用线搜索方法。 更新迭代点:xk+1=xk+αkdk 更新搜索方向: dk+1,使得 (dk+1)TAdk=0 3. 共轭梯度法 3.1 共轭梯...
最速下降法 共轭梯度法最速下降法考虑线性方程组 Ax=bAx=b ,其中 AA 是对称正定阵,定义二次泛函φ(x)=xTAx−2bTxφ(x)=xTAx−2bTx定理5.1.1 设AA 对称正定,则 Ax=bAx=b 的解等价于二次泛函 φ(x)φ(x) 的极小值点.证明 事实上,直接计算梯度有grad...
共轭梯度法的核心思想是通过一系列共轭的搜索方向来逼近最优解。具体来说,对于一个对称正定的线性方程组Ax=b,共轭梯度法的步骤如下: 1.初始化解向量 和残差 。 2.计算初始搜索方向 。 3.进行共轭梯度迭代:重复以下步骤n次或直到收敛为止。 a.计算步长$\\alpha_k=\\frac{r_k^Tr_k}{d_k^TAd_k}$。
共轭梯度法(reaction-coordinate density technique,缩写为coAPD),是由美国著名的电化学家S.C.R.(赫维斯特)于1976年提出的,最早是应用于考察水溶液中蛋白质在二级胺诱导下的变性行为。后来,此方法被用于研究Cu(I)-Zn(II)氧化偶联反应,可用于测定其它一些金属离子。它能够选择性地催化多种反应,并且操作简便,灵敏...
共轭梯度法(Conjugate Gradient)是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法,它仅需利用一阶导数信息,但克服了最速下降法收敛慢的缺点,又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点,共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一,也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。
那就是共轭梯度法。 注:个人觉得只会考应用,所以没有详细的理论推导。 总结: (1)每次找二次函数一个轴的最优解,则能定位最优解的方向选择条件:相邻向量共轭 (2)确定相邻共轭的下降方向的方法:共轭梯度法=》FR共轭梯度法 (3)对于凸函数n步一定能找到解:扩张子空间定理 (4)二次函数中使用共轭下降法的性质:...
就可以考虑共轭梯度法。共轭梯度法(与其切比雪夫加速变种)是求解对称正定线性系统的标准算法,但共轭梯度法也经常出现在非线性优化的语境里,这是由于上面线性系统的求解与下面的极小化问题等价: f(x)=12xTAx−bTx 从优化的角度看有诸多便利,比如可以求梯度: ∇f(x)=Ax−b 用梯度下降可以求解线性方程,这个效...
共轭梯度法探索的第一步是沿负梯度方向。即 点按 方向找到 ,然后沿着与上一次探索方向 相共轭的方向 进行探索直达到最小点 。 令。 上式的意义就是以原来的负梯度 的一部分即 ,加上新的负梯度 ,构造 。 在上式中 的选择,应使 维欧氏空间 中的两个非零向量 与 关于矩阵 共轭。即 因 ,故有 若令 二...