线性代数中的“等价”主要描述矩阵或向量组之间通过特定变换或线性表示达到结构或性质的一致性,分为矩阵等价和向量组等价两种类型。其核心特征包括
代数等价系统通过特定的规则和条件,对不同代数对象进行关联和比较。这种系统有助于揭示代数对象间隐藏的内在联系与共性特征。以简单的线性方程组为例,代数等价系统能清晰呈现不同解法间的等价关系。从群论角度看,代数等价系统可用于确定不同群表示形式的等价性。对于多项式环,代数等价系统能判断不同多项式之间是否存在...
上面所讲的两个例子只是高等代数等价思维的冰山一角,在学习的时候要注意到等价思维的转换,从而学到高等代数解决问题的思想。 碎碎念:知乎打公式太麻烦了,markdown的公式也导不进去(也许以后会解决),因此以后更新的可能主要是思维的讲解,可以让初学者配合高等代数书食用。至于更详细的知识讲解(比如开的数学分析专栏)就...
等价关系需满足自反性,即元素与自身等价。对称性也是等价关系的特性,a与b等价则b与a等价。传递性要求若a与b等价且b与c等价 ,则a与c等价。在集合上定义的二元运算可诱导出等价关系。同余关系是一种特殊的代数系统等价关系。同余关系保持代数系统的运算结构。对于群这一代数系统,等价关系能划分其元素。 群中元素...
代数等价是数学领域的专有名词,原指代数的等价关系,而也正是因为等价性,所以现实中的很多问题都可以使用该思维模型进行分析,就像小时候的应用题一样,步骤包括4步,看问题,找已知,列等式,求解。小时候做应用题都可以做,但真正在实际生活中缺忘记了这个非常好用的工具,这也算是目前教育的一种无奈吧。 代数等价最强...
等价:矩阵 A 可通过初等变换得到矩阵 B,即存在 P Q 可逆,使得 PAQ = B。 相似:存在矩阵 P 可逆,使得P−1AP=B。 合同:存在矩阵 P 可逆,使得PTAP=B。 前置条件: 等价:是矩阵就行,长宽可以不相等。 相似:方阵。 合同:方阵,通常来说 实对称矩阵(AT=A)。
1.等价向量组：等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。如果向量组A可由向量组B线性表示，且R（A）=R（B），则A与B等价。2.等价矩阵：矩阵等价，是存在可逆变换（行变换或列变换，对应于...
证明两个向量组等价,可以通过证明三秩相等的方法。具体如下: 设向量组A:a1,a2,…am与向量组B:b1,b2,…bn; 欲证明向量组A与向量组B等价,只需证明rank(A)=rank(B)=rank(A,B); 其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵,rank(A)表示矩阵A的秩,rank(B)表示矩阵B的秩,rank(A,B)表示增广矩阵(A,B)的秩...