证:设f=ln(1+t)易知,函数f在(0,x)处可导,[0,x]处连续由拉格朗日中值定理,得f(x)=x/(1+ζ)因为0<ζ<x,所以x/(1+x)<f(x)<x 贴8知名人士 幂级数 7 好像是同济课本拉格朗日那节的例题 星·河 实数 1 按高三那样做差求导都能解决啊 我要当个正常de好人 实数 1 当x取0的时候......
两导数作比：[1/(1+x)]'/[ln(1+x)]'=1/[(1+x)^2]/[1/(1+x)]=1/(1+x)<1 所以，在x>0时，x/(1+x)的增长速度小于ln(1+x)，而在x=0出两者相等。所以 x/(1+x)<ln(1+x)证毕。
x>0时，有x>ln（1+x）。要比较x和ln（1+x）的大小。可以通过作差法来比较这两个数的大小。设f（x）=x-ln（1+x），需要找出f（x）的符号。为了找出f（x）的符号，求f（x）的导数。f'（x）=1-1/（x+1），当x>0时f'（x）>0，说明f（x）在（0，+∞）上是增函数。当x>0时...
59 2008-01-01 证明当x>0时,ln(1+1/x)>1/1+x 26 2012-12-23 利用拉格朗日中值定理证明不等式1/1+x<ln(1+1/x)... 61 2011-10-30 用中值定理求证,当x>0时,x/(1+x)<ln(1+x)<... 30 2011-11-01 利用中值定理:当x>0时,证明x/1+x<ln(x+1)<x... 69 更多类似问题 > ...
右边的小于不等式显然，因为ln(1+x)的泰勒展开是交错级数，根据莱布尼兹审敛法，即得
1. 要证明ln(1+x)和x是等价无穷小，我们首先考虑极限lim(x→0)ln(1+x)/x。2. 使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）计算这个极限，我们得到lim(x→0)(1/(1+x))。3. 当x趋向于0时，1/(1+x)趋向于1，因此极限的结果是1。4. 根据等价无穷小的定义，如果在同一自变量的趋向...
比起x的斜率1来讲大的多。但是所要比较的是，x趋向于零的速率与lnx趋向于无穷的速率。也就是相当于...
证明：构造函数f(x)=ln(1+x)-x 则 f '(x) = 1/(1+x) - 1 < 0 (∵x>0)所以 f(x)在(0,+∞)上是减函数,于是 f(x) < f(0) = 0 即 ln(1+x) < x 构造函数g(x) = x/(1+x) - ln(1+x)则 g ' (x) = 1/(1+x)^2 - 1/(1+x) = - x /(1+x)^2 ...
方法一：分别做函数f（x）=x/(1+x);f(x)=ln(1+x);f(x)=x 的图像比较即可 方法二：另f(x)=ln(1+x)-x/(1+x)求导，当x>0时为增函数，故f(x)>f(0)=0,同理设g(x)=x-ln(1+x),求导为增函数，g(x)>g(0)=0 则可证 ...
1+x)-ln(1+x)f'(x)=[1*(1+x)-x*1]/(1+x)²-1/(1+x)=1/(1+x)²-1/(1+x)=-x/(1+x)²定义域是1+x>0 x>-1 所以(1+x)²>0 所以x>0,-x<0,f'(x)<0,减函数 所以f(x)<f(0)=0-0=0 所以f(x)<0 所以x/(1+x)<ln(1+x)...