Bolzano-Weierstrass定理每个有界序列都含有收敛的子序列:设 (an)n=0∞ 有界(即存在实数M>0,使得对于 ∀n∈N,|an|≤M ),那么 (an)n=0∞ 至少有一个子序列收敛。 证明(用到了上面的定理): (i) 若(an)n=0∞ 收敛到 L ,则存在 ,N⇒∀n≥N,|an−L|<ε⇒|an|−|L| ≤|an−L|...
Bolzano-Weierstrass定理(或称为波尔查诺-维尔斯特拉斯定理)是实数理论中的一个基本定理,它指出任何有界的数列必定包含至少一个收敛的子数列。这一定理不仅体现了实数的连续性和完备性,还在数学分析中占据重要地位。以下是对Bolzano-Weierstrass定理的详细阐述: 一、基本定义与历史背景...
Bolzano-Weierstrass 定理(波尔查诺-威尔斯特拉斯定理)又称聚点定理、列紧性定理,是一个实分析和拓扑中的定理,在实数理论中作为完备性等价定理之一。 在 Euclid 空间中,任意有界闭集中的无限集合都有一个极限点(即聚点),或一个有界闭集中的任意序列必有一子序列在其
Weierstrass聚点定理,也称Weierstrass-Bolzano定理,指的是任何无限紧致的实数数列都必然有至少一个聚点。换句话说,如果一个实数数列无限接近某个实数,那么这个实数就是该数列的聚点。 更具体地,设$x_n$为实数数列,若存在实数$A$,使得对于任意正数$\epsilon$,都存在自然数$N$,使得当$n>N$时,$|x_n-A|<\epsilo...
(Bolzano-Weierstrass定理):若E是n维实数坐标空间中一有界的无穷集合, 则E至少有一个聚点P(P可以不属于E)。 证明:从E中取出互异点列{xk},显然{xk}有界, 设{xk}的第i个坐标形成的实数列为{xki}(i=1,2,...,n), 由“有界数列必有收敛子数列”,{xk1}存在收敛子数列{xkm1}, ...
Bolzano-Weierstrass定理是高等数学中的一个非常重要的定理,它描述了实数序列的一种重要性质。具体来说,Bolzano-Weierstrass定理表明,在实数系R中,任何一个有界的无穷数列必定存在至少一个收敛的子数列。 定理的核心内容:这个定理的证明依赖于实数系的完备性,它是有界数列收敛性的一个重要保证。 实际应用:在实际应用中...
它可以作为逻辑世界领域中“比较非集合支配”论断的前提,而不需具体证明。 总之,博尔扎诺-魏耳斯特拉斯定理功能重要,并且应用非常广泛,甚至影响到某些学科的发展。虽然它是19世纪捷克数学家伯尔萨诺·魏耳斯特拉斯(Bolzano Weierstrass)提出的,但它对现代数学以及它的应用领域有着深远的影响,实属不容忽视的。
1. 定理陈述 Bolzano-Weierstrass 定理又称柯西-波尔查诺定理,它的具体陈述如下:对于任意有界的实数数列 {an},必存在收敛的子数列{a nk},即存在一个收敛到某一实数极限的子数列。 2. 证明准备 证明Bolzano-Weierstrass 定理需要借助实数的有界性和确界原理。我们知道实数集合有上界和下界,对于有界数列而言,存在一个...
Bolzano-Weierstrass定理是实数的一个基本定理。它的表述为:任何有界数列必有收敛子列。也就是说,假设我们有任意一个实数数列,若它是有界的(也就是说,存在某两个实数L和U,使得该序列中所有的数都在区间[L, U…