注:Bolzano-Weierstrass定理说的是,如果一个序列有界,那么序列终究要收敛到一些极限点,即被限制在有界区域内的无限集合必任意的靠近某点(极限点)。用拓扑语言表达,区间 :{x∈R:−M≤x≤M} 是紧致的。 发布于 2023-09-10 18:51・天津 序列 极限(数学) 有界数列 ...
Bolzano-Weierstrass 定理(波爾查諾-威爾斯特拉斯定理)又稱聚點定理、列緊性定理,是一個實分析和拓撲中的定理,在實數理論中作為完備性等價定理之一。 在 Euclid 空間中,任意有界閉集中的無限集合都有一個極限點(即聚點),或一個有界閉集中的任意序列必有一子序列在其
Bolzano-Weierstrass 定理(波尔查诺-威尔斯特拉斯定理)又称聚点定理、列紧性定理,是一个实分析和拓扑中的定理,在实数理论中作为完备性等价定理之一。 目录 1 内容 1.1 实数情形 2 证明其它实数基本定理 2.1 确界定理 2.2 单调有界定理 2.3 区间套定理 2.4 Heine-Borel 定理 2.5 Cauchy 收敛准则 3 参考资料...
(Bolzano-Weierstrass定理):若E是n维实数坐标空间中一有界的无穷集合, 则E至少有一个聚点P(P可以不属于E)。 证明:从E中取出互异点列{xk},显然{xk}有界, 设{xk}的第i个坐标形成的实数列为{xki}(i=1,2,...,n), 由“有界数列必有收敛子数列”,{xk1}存在收敛子数列{xkm1}, ...
波尔查诺-维尔斯特拉斯定理(Bolzano-Weierstrass定理)是数学分析中的核心定理之一,它表明实数范围内的有界无限序列必然包含至少一个收敛的子序列。这一定理不仅为实数完备性提供了重要支撑,还在优化理论、微分方程等领域有广泛应用。 一、定理的两种等价表述 该定理在数学中通常有两种...
数学公式公理定理知识 Bolzano–Weierstrass定理,即波尔查诺-魏尔施特拉斯定理,是数学分析中的核心定理之一。以下是对该定理的详细解释: 一、定义与表述 波尔查诺-魏尔施特拉斯定理表明,在有限维实向量空间R^n中,一个子集E是序列紧致(即每个序列都有收敛子序列)的充分必要条件是E是有界闭集。换言之,任何有界数...
【解析】 证明 我们就R中的有界点列来证明.R中的情形是一样的.设(x}是R 中的一个有界点列, i^1x_i=(x_i^i⋅x_2^ε⋅x_j^1)(i-1,2⋯) .由于 |x_i|≤|x,|≤M|≤|i|≤1,2,⋯) . 故 \(x_1^4\) 是一个有界数列.根据数列中的Bolzano-Weierstrass定理,存在(i}的子 列 \...
Weierstrass聚点定理,也称Weierstrass-Bolzano定理,指的是任何无限紧致的实数数列都必然有至少一个聚点。换句话说,如果一个实数数列无限接近某个实数,那么这个实数就是该数列的聚点。 更具体地,设$x_n$为实数数列,若存在实数$A$,使得对于任意正数$\epsilon$,都存在自然数$N$,使得当$n>N$时,$|x_n-A|<\epsilo...
试根据有限覆盖定理证明Bolzano-Weierstrass定理. 相关知识点: 试题来源: 解析 证明:反证,设E为有限无穷点集而无聚点,则$$ E ^ { \prime } = \varnothing , $$ 从而$$ E ^ { \prime } = \varnothing \subset E , $$ 故E为有界闭集,且任意$$ p \in E $$,都是E的孤立点.故 $$ \exists \...
Bolzano-Weierstrass定理是实数的一个基本定理。它的表述为:任何有界数列必有收敛子列。也就是说,假设我们有任意一个实数数列,若它是有界的(也就是说,存在某两个实数L和U,使得该序列中所有的数都在区间[L, U…