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n的1/n次方的极限为1。设a=n^(1/n),∴a=e^(lnn/n)。∴lim(n→∞)a=e^[lim(n→∞)lnn/n]。而,lim(n→∞)lnn/n属“∞/∞”型,用洛必达法则,∴lim(n→∞)lnn/n=lim(n→∞)1/n=0。∴lim(n→∞)n^(1/n)=e^[lim(n→∞)lnn/n]=e^0=1。
证明：
n的n分之一次方的极限等于1。将n换为x，即求：lim[x→+∞] x^(1/x)=lim[x→+∞] e^[(1/x)lnx]=e^[lim[x→+∞] (1/x)lnx]，洛必达法则=e^[lim[x→+∞] (1/x)]=e^0=1。证明：n^(1/n)的极限为1 记n^(1/n)=1+a(n), 则n=(1+a(n))^n>n(n-1)/2 * ...
是1 很简单，当n趋近无穷时，1/n趋近于0，那么无论多大的数，它的0次方都是1
可以进行理论证明，但也可直接观察，你看一下面直接计算所得的数据，每组中第一个数是n的取值，第二个就是n的1/n次幂。{100, 1.04713}, {200, 1.02685}, {300, 1.01919}, {400, 1.01509}, {500,1.01251}, {600, 1.01072}, {700, 1.0094}, {800, 1.00839}, {900,1.00759}...
，0⩽1nn⩽1n→0，n→∞
n次根号下(a^n)=a。 阶乘快于指数函数，因为n！≈(1/e×n)^n，n可以无限变大。所以lim(n∞)n次根号下n！=1/e×n=∞。 而n的1/n次方(n次根号下n)=n^2的1/2n次方=n^x的1/xn次方>n^x的1/n^x次方(n>e，x>1时)。 n^x增长率远快于xn。所以n∞，n次根号n的极限是1。
别说n趋于无穷大，即使n等于无穷大，1的n次方也是等于1，不存在极限。提这个问题的朋友是对教材常数的...
当N>1的时候,没有极限 当|N|>1的时候,极限是0 当N=1的时候,极限是1