首先，ln(1+x)的泰勒级数展开式为x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...。接下来，将(1+x)乘以这个级数，得到f(x)的展开式为(1+x)(x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...)。这将展开为x + x^2 - x^2/2 + x^3/3 - x^3/3 + x^4/4 - x^4/4 + ...，...
其中an是系数，x是变量。通过合适的变换，我们能够将函数f(x) = ln(1+x)展开成幂级数形式。为了展开f(x) = ln(1+x)，我们首先需要找到其泰勒级数展开。泰勒级数是一种特殊的幂级数展开方法，它将函数在某个点的值和导数值用于展开。对于f(x) = ln(1+x)，我们选取x=0作为展开点，因此得到...
考虑函数f(x) = (1-x)ln(1+x)，我们尝试将其展开成x的幂级数。我们知道，ln(1+x)的泰勒级数展开为x-x^2/2+x^3/3-...因此，我们先将ln(1+x)的级数展开代入f(x)中得到：(1-x)(x-x^2/2+x^3/3-...)。接下来，我们对这个表达式进行展开：(1-x)(x-x^2/2+x^3/3-......
就是把左边的∑中的第一项(n=1)提出来，也就是x，这样这个∑就变成从n=2开始了 然后再把两个∑加起来
现在考虑f(x) = (1-x)ln(1+x)。将上面的ln(1+x)泰勒展开式代入，得到f(x) = (1-x) * [x - x^2 / 2 + x^3 / 3 - x^4 / 4 + ...]。接下来，我们对f(x)进行逐项乘法展开：f(x) = x - x^2 / 2 + x^3 / 3 - x^4 / 4 + ... - x^2 + x^3 / 2...
因为ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-...+(-1)^(n+1)x^n/n+...所以f(x)=ln(1-x)=ln(1+(-x))=(-x)-(-x)^2/2+(-x)^3/3+...+(-1)^(n+1)(-x)^n/n+...=-x-x^2/2-x^3/3-...-x^n/n-...
如果明白的话请采纳
1 的求和号合并化简，最终得到结果就是第五步的 x 加上一个从 1 开始的求和的形式啦。这类问题都会伴随着求和号的起始数值的变化，如果你仔细看看就知道了。当然在做变化的时候最好小心点，不然很容易得到错误的结果的。如果还是看不懂的话就给我留言吧，我会给你详细解释一下的。
f′(x)=ln(1+x)+1=[∑(n从1到∞)(-1)^(n-1)x^n/n]+1f(x)=∫(0到x)f′(x)dx+f(0)=∫(0到x){[∑(n从1到∞)(-1)^(n-1)x^n/n]+1} dx=∫(0到x)∑(n从1到∞)(-1)^(n-1)x^n/ndx+x=x+∑(n从1到∞)(-1)^(n-1)∫(0到x)x^n/ndx=...
一般的，f(x)在x=x0处展开成幂级数为：f(x)=f(x0)+f(x0)'(x-x0)+f(x0)''(x-x0)²/2+f(x0)"'(x-x0)³/3!+……+f(x0)(n)(x-x0)^n/n!+……+ 此题中，x0=0,f(0)=0,f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),f(x)'=1/(1+x)+1/(1-x)f(x)"=-1...