euler-maclaurin公式euler-maclaurin公式 欧拉-麦克劳林公式(Euler-Maclaurin formula)是微积分中的一个重要公式,用于估计求和、积分或级数的近似值。该公式以两位数学家欧拉和麦克劳林的名字命名。 具体地说,给定一个函数f(x),欧拉-麦克劳林公式给出了如下的近似公式: $$\sum_{k=a}^{b} f(k) \approx \int_{...
关于Euler-Maclaurin 公式,也可以看这一篇文章:Abel-Plana公式 \sum_{n=0}^{\infty} f(n)-\int_{0}^{\infty} f(x) d x=\frac{1}{2} f(0)+i \int_{0}^{\infty} \frac{f(i t)-f(-i t)}{e^{2 \pi t}-1} d t 应用 考虑黎曼 \zeta 函数,在 Re(s)>1 时 \zeta(s)-\int...
由 ∑u1<n⩽u2b(n)f(n)=∫u1u2β′(u)f(u)du+R 可知,对于任意实数u1<u2有 ∑u1<n≤u2f(n)=∫u1u2f(u)du−b1(u)f(u)|u1u2+∫u1u2b1(u)f′(u)du 这便是最简单的Euler-MacLaurin求和公式. 编辑于 2024-07-19 17:09・IP 属地江苏 内容所属专栏 解析数论 小鑫的简单笔记 订阅专栏 ...
euler-maclaurin公式即欧拉-麦克劳林公式,是一个表达一个级数的和与其相应的积分之间的关系的数学公式。它是一个强大的工具,可以用来和一个级数展开的有限项来近似一个定积分的值。 欧拉-麦克劳林公式在数学和物理方面有广泛的应用,包括: 数值积分:该公式可以通过对级数展开的有限个项的求和来近似一个定积分的值。当...
本文是接上文最简的Euler-MacLaurin求和公式,在此基础上利用分部积分得出更一般形式Euler-MacLaurin求和公式,其在众多估计中有着应用,读者可以快速浏览一下。 欢迎关注爱学数学的小鑫,我在全网都有账号,包括但不限于公众号、知乎、B站、抖音、快手、小红书、视频号,全网同名:小鑫数学...
Euler-Maclaurin公式可以通过欧拉数来表达,进而对其进行应用。 Euler-Maclaurin公式的一般形式为: \sum_{k=a}^{b} f(k) = \int_{a}^{b} f(x) dx + \frac{1}{2}(f(b) + f(a)) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n}}{(2n)!} (f^{(2n-1)}(b) - f^{(2n-1)}(a)) 其中B...
本文从Abel求和出发,通过取合适的主项得到了最简单的Euler-MacLaurin求和公式,同时也是用的最多的一个形式,本文主要是一个基础知识,为后面内容做准备,读者可以快速浏览一下. 欢迎关注爱学数学的小鑫,我在全网同名:小鑫数学 [图片]
Euler-Maclaurin求和公式设函数f∈C(2m+2)[a,b],h=b−an,xi=a+ih,i=0,1,⋯,nf∈C(2m+2)[a,b],h=b−an,xi=a+ih,i=0,1,⋯,n,则b−an∑i=1n12[f(xi−1)+f(xi)]−∫baf(x)dx=∑k=1mB2k(2k)!h2k[f(2k−1)(b)−f(2k−1)(a)]+B2m+2(2m+2)!h2m+2f(...
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e.g.利用Euler-Maclaurin公式推导Striling公式 solve :对 f(x)=ln(x) 在[1,n] 上应用三阶 Euler-Maclaurin: \sum_{k=1}^{n}{lnk}=\frac{ln1+lnn}{2}+\frac{\frac{1}{n}-1}{12}+\int_{1}^{n}lnxdx+\frac{1}{3}\int_{1}^{n}p_{3}(x)\frac{1}{x^{3}}dx =nlnn-n+\...