g′(x)=−(x2−2x+1)e−x=−(x−1)2e−x. 当x≠1时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减.而g(0)=0, 故当x⩾0时,g(x)⩽0,即f(x)⩾1. 当a=1时, f(x)=ex−x2,f′(x)=ex−2x. 设函数g(x)=f′(x)=ex−2x, ...
目标是最小化平均码字长度,即最小化 \mathbb{E}_z\big[2^{t\cdot l(z)}\big] ,这等价于最小化 L(t):=\frac1t\log_2\Big(\sum_z\text{Pr}[z]2^{t\cdot l(z)}\Big)\\ 依旧用例 1 里的两个码本,可以计算出 \begin{align*} \text{对码本 1: }\enspace L(t)&=\frac{1}{t}\...
解:入xex对VxE(1,+∞)恒成立,等价于e X 入 X对X 1恒成立,设ex f(x)= X,XE(1,+∞),则f'(x)=e*( -1) 0 x2,所以f(x)f(1)=e,所以入xex对VxE(1,+∞)恒成立的充要条件是入≤e,所以“入xex”是“入 e”的必要不充分条件,故选:D点评:本题考查充分条件、必要条件的判断,属于...
恒成立,等价于f(x1)-f(x2)<x12-x22,即f(x1)-x12<f(x2)-x22,令F(x)=f(x)-x2=ex-ax2-x2,则F(x1)<F(x2)可得F(x)在(1,2)上时为减函数,所以对∀x1,x2∈(1,2),都有F′(x)≤0恒成立,即对∀x1,x2∈(1,2),都有ex-2(a+1)x≤0恒成立,...
1 ax2+1等价于(ax2-x+1)ex-1>0.(*)设h(x)=(ax2-x+1)ex-1,则h′(x)=x(ax+2a-1)ex.若a ≥ 1 2,则当x∈(0,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增,h(x)>h(0)=0.若0<a< 1 2,则当x ∈(0, 1-2a a),h′(x)<0,h(x)单调递减,h(x)<h(0)=0.于是...
所以xf(x)≥x+g(x)+1等价于xex≥x+lnx+1,即ex+lnx≥x+lnx+1,令t=x+lnx,t∈R,则只需证et≥t+1,设g(t)=et-t-1,t∈R,则g′(t)=et-1,t∈R,当t<0时,g′(t)<0,g(t)单调递减;当t>0时,g′(t)>0,g(t)单调递增;故g(t)≥g(0)=1-0-1=0,即et≥t+1成立,...
故f′(x)>0恒成立,所以f(x)在[0,1]上单调递增, ∴f(x)min=f(0)=1,f(x)max=f(1)=e﹣1. (2)解:∵g(x)=ex﹣(x+a)2,∴g′(x)=ex﹣x﹣a. 令m(x)=ex﹣x﹣a,∴m′(x)=ex﹣1, 当x≥0时,m′(x)≥0,∴m(x)在[0,+∞)上单增,∴m(x)min=m(0)=1﹣a. ...
高数 极限题设f(x)=e^(-x2)-1 ,g(x)=x2,则当x→0时,f(x)与g(x)是不是同阶无穷小并说明原因或套用的公式
e^x＞1+x等价于e^x-1-x>0.设函数f(X)=e^x-1-x,求导可得f'(X)=e^x-x,再求导得f''(x)=e^x-1,在正实数上恒正,所以f‘（x）>f’（0）=0,f（X)>f(0)=0,结论成立 同理,e^x＞ex等价于e^x-ex＞0,求导可得g'(x)=e^x-e在x>1上恒正,所以e^x-ex>0 ...
(3)f(x)-ex≥xlnx-x2-x+1等价于ex-x2-ex≥xlnx-x2-x+1,即ex-ex≥xlnx-x+1.等价于exx-lnx-1x1x-e+1≥0.令h(x)=exxexx-lnx-1x1x-e+1,求出导数和单调区间,可得最小值,即可得到证明. 解答解:(1)∵f′(x)=ex-2x-a,∴f′(0)=1-a=1,∴a=0, ...