一、方阵的特征值和特征向量 Ax=λx, A∈Rn×n 为n 阶方阵,x 叫做A的特征向量(eigenvector), λ 叫做特征值(eigenvalue)。首先寻找特征值,是通过求解A的行列式 det(λI−A)=0=(λ−λ1)n1(λ−λ2)n2...(λ−λr)nr, n1+n2+...+nr=n ,一共 r 个特征值【注意矩阵的行列式 det(λ...
对于矩阵$A$的零特征值，我们可以通过考虑$A$的秩来确定。由于$A$是一个秩为1的矩阵，它有$n-1$个线性无关的特征向量，对应于特征值为0。因此，矩阵$A$的特征值为$n$和$0$，其中$n$出现一次，0出现$n-1$次。这意味着除了$\mathbf{1}$对应的特征值为$n$外，其他特征值都为0。综上所...
秩为1的矩阵的特征值的公式为 Aβ = βα^Tβ = α^Tββ。1、如果矩阵可以对角化，那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩，如果矩阵不可以对角化，这个结论就不一定成立。设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ...
第4章 矩阵的特征值-经济应用数学基础二 线性代数 (第四版)-赵树嫄 编-中国人民大学出版社
探讨秩为1的矩阵的特征值，关键在于理解矩阵特征值的概念。具体而言，当矩阵的秩为1时，意味着它至少有一个特征值为0，且此特征值的重数至少为n-1。这是因为，秩为1的矩阵可以被分解为一个非零向量与其自身对应线性变换的乘积。当矩阵的对角线元素之和为0时，0成为该矩阵的一个n重特征值。不过，...
首先，由于 $A$ 是一个秩为1的矩阵，因此它最多只有一个非零特征值，且对应的特征向量可以是任何与 $xy^T$ 线性无关的列向量。接着，我们假设 $v$ 是一个非零列向量，它满足 $xy^Tv = lambda v$，则有 $(y^Tv)x = lambda v$。由于 $y^Tv$ 是一个标量，因此 $lambda$ 是唯一的。
综上所述，秩为1的矩阵 $A=xy^T$ 的特征值只有一个，即 $\lambda = y^Tx$，对应的特征向量可以是与 $xy^T$ 线性无关的任意列向量，通常选择 $\frac{v}{y^Tv}$ 作为特征向量。为了进一步理解这一点，我们可以考虑一个具体的例子。假设 $x = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix...
特征值的计算 🔍因为a和β都是单位向量且相互正交,所以矩阵A的特征值为2和1,且1和1是重根。又因为aT和βT都是秩为1的矩阵,所以矩阵A的秩为2。因此,0也是矩阵A的一个特征值。经过正交变换,二次型f的标准形为2y2 + y2。 练习题 📝设3阶矩阵A = aaT + βT,其中a和β为正交的单位列向量。A的...
秩为1的矩阵的特征值的公式 Aβ = (βα^T)β = (α^Tβ)β。1、设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是矩阵A的一个特征值。例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。定义2. ...
1,nijjj ia瑞勒商瑞勒商(Rayleigh Quotient)定理定理设设 A 是是 n 阶实对称矩阵,其特征值为阶实对称矩阵,其特征值为11nn则有则有(,0)nxRx1(, )( , )nAx xx x0(, )min( , )nxAx xx x10(, )max,( , )xAx xx x其中其中 称为关于称为关于 x 的的 Rayleigh 商。(, 3、)( )( , )Ax...