今天打算重新梳理线性代数中的一个重要定理谱定理Spectral Theorem或称为Principal Axis Theorem(主轴定理). 并且Spectral Theorem和Singular Value Decomposition(SVD)有着千丝万缕的关系. 从上面Spectral Theorem的内容上看,涉及到以下一些知识点: (1)特征值和特征向量; (2)正交矩阵Q; (3)判断矩阵是否可被对角化; ...
yes,最好的情况是规范正交特征向量基,复谱定理就是描述Hermitian空间中线性算子为正规算子时的这个最好情况。 根据Schur's Theorem,复内积空间中任意线性算子 T ,一定可以找到一组规范正交基 e1,e2...en 使得M(T) 为上三角阵。如果线性算子 T 是正规算子,这个上三角阵 M(T) 必须为对角阵,这就是复空间的...
下面是谱定理的证明大致步骤: 1. 首先,我们需要知道厄米矩阵的一些性质。厄米矩阵是指一个复数方阵,满足矩阵的共轭转置等于其自身的转置。即 A* = A,其中 * 表示共轭转置。 2. 接下来,我们可以通过厄米矩阵的特征值和特征向量定义来证明谱定理。假设 A 是一个 n × n 的厄米矩阵,λ是 A 的一个特征值,v...
谱定理,又称傅里叶- 利特尔伍德定理(Fourier-Lipton Theorem),它指出,在一定条件下,任何信号或图像都可以表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数之和。 2.重要性 谱定理的重要性体现在它为我们提供了一种将复杂的信号或图像分解为简单的正弦和余弦函数的方法,这有助于我们更好地理解信号和图像的特性,为后续的信号...
谱定理（Spectral Theorem）谱定理在线性代数里可以这样表述：正规矩阵A当且仅当存在酉矩阵U，使得U⁻¹AU = D，其中D为对角阵。结合特征值分解和酉矩阵的定义，不难发现D其实就是一种特殊的特征值分解A = PDP⁻¹，U = P。证明必要性 若U⁻¹AU = D，其中...
若谱定理对n-1成立,下面证明其对n成立。 任取特征值\lambda_1,和对应的特征向量\boldsymbol{x}_1(存在至少一个,一定能取到!),标准化这个特征向量\boldsymbol{q}=\frac{\boldsymbol{x}_1}{|\boldsymbol{x}_1|},则\boldsymbol{q}^*\boldsymbol{q}=1。 \begin{align*} \boldsymbol{Aq}&=\lambda...
根据上一部分,我们知道可以从格林函数或谱密度中获得系统的微观信息。在这一部分,我们证明系统的宏观热力学是由特定的格力函数所决定。为此我们介绍谱定理。 关联函数⟨B(t′)A(t)⟩的谱表示(6.4)类似于(6.5)的谱密度,因此关联函数可以用谱密度来表示。利用谱密度的反对易子(ε=−),合并(6.4)(6.5)得:...
谱定理证明 谱定理是一个重要的数学定理,它描述了一个线性算子在一个Hilbert空间上的谱与这个算子的特征向量之间的关系。 设T是一个在Hilbert空间H上的线性有界算子,它的定义域为D(T),则谱定理可以表述为以下两个主要结论: 1.谱定理第一部分:谱分解 对于任意的λ∈C,记A:=T-λI,其中I是H上的恒等算子。
谱定理的直观解释可以从几何和物理学的角度进行理解。首先,可以将矩阵看作是一个线性变换,特征向量对应的就是这个变换的固定点或者不变方向。通过特征向量的线性组合,可以将整个向量空间分解成特征子空间,每个特征向量的线性组合就是一个特征子空间上的向量。谱分解定理的意义就是将这个线性变换分解成了许多不同特征子...