今天打算重新梳理线性代数中的一个重要定理谱定理Spectral Theorem或称为Principal Axis Theorem(主轴定理). 并且Spectral Theorem和Singular Value Decomposition (SVD)有着千丝万缕的关系. 从上面Spectral The…
若谱定理对n-1成立,下面证明其对n成立。 任取特征值\lambda_1,和对应的特征向量\boldsymbol{x}_1(存在至少一个,一定能取到!),标准化这个特征向量\boldsymbol{q}=\frac{\boldsymbol{x}_1}{|\boldsymbol{x}_1|},则\boldsymbol{q}^*\boldsymbol{q}=1。 \begin{align*} \boldsymbol{Aq}&=\lambda...
谱定理（Spectral Theorem）谱定理在线性代数里可以这样表述：正规矩阵A当且仅当存在酉矩阵U，使得U⁻¹AU = D，其中D为对角阵。结合特征值分解和酉矩阵的定义，不难发现D其实就是一种特殊的特征值分解A = PDP⁻¹，U = P。证明必要性 若U⁻¹AU = D，其中...
为谱-|||-84.5-|||-矩阵的谱分解-|||-一,正规矩阵的谱分解-|||-首先介绍正规矩阵的谱分解,然后再介绍单纯矩阵的谱分解-|||-设A为正规矩阵,那么存在U∈U×”,满足-|||-A=Udiag(a1,d2,…,n)UH-|||-若命U=(a1,a2,…,an),则-|||-a-|||-A=(a1,a2,…,an)diag(1,2,…,入n)-||...
谱定理证明 谱定理证明 谱定理是一种数学定理，它描述了一个厄米矩阵（Hermitian matrix）的特征值和特征向量之间的关系。下面是谱定理的证明大致步骤：1. 首先，我们需要知道厄米矩阵的一些性质。厄米矩阵是指一个复数方阵，满足矩阵的共轭转置等于其自身的转置。即 A* = A，其中 * 表示共轭转置。2. 接下来，...
谱定理证明 谱定理是一个重要的数学定理,它描述了一个线性算子在一个Hilbert空间上的谱与这个算子的特征向量之间的关系。 设T是一个在Hilbert空间H上的线性有界算子,它的定义域为D(T),则谱定理可以表述为以下两个主要结论: 1.谱定理第一部分:谱分解 对于任意的λ∈C,记A:=T-λI,其中I是H上的恒等算子。
2矩阵谱分解定理的唯一性证明设A是一个n阶可对角化矩阵,A的谱为σ(A)={λ1 ,λ2,……,λ} (即A的n个不相同的特征值为λ1,λ2,……λs,每个特征值的充数为ks) 则存在唯一一组s个n阶方阵P1 P2……Ps,满足:①A=λ1×P1+λ2×P2+……+λs×Ps ②Pi×Pj=0 (i≠j);Pi×Pi=Pi ③P1+P2...
此定理的证明过程蕴含两个关键环节。首先，对称矩阵的特征值皆为实数，且其特征向量亦为实数向量。其次，当存在n个线性无关的特征向量时，矩阵能实现对角化，即存在分解S=QΛQT。实对称矩阵具有唯一性，其特征值必定为实数。证明此点需从对称矩阵的性质出发，即其特征值与其特征向量间的线性关系。对称...
定理4.2.1么。。。设A=∑λiGi 和A=∑λiPi → AGi=λiGi ，APj=λjPj , i=!j → APjGi=λiPjGi,AGiPj=λjGiPj → λiPjGi=λjPjGi , i=!j →PjGi=0 →Gi=InGi=(∑Pi)Gi=PiGi, Pi=PiIn=Pi(∑Gi)=PiGi →Pi=Gi ...
接下来，我们可以通过定义投影算子来证明谱分解定理。投影算子是将一个向量投影到某个子空间中的一种线性算子。对于一个矩阵A，我们可以定义其投影算子P为：Pv = v -λ_1 v_1 -λ_2 v_2 - ... -λ_k v_k，其中v是输入向量，λ_i是A对应的特征值和对应的特征向量。通过定义投影算子，我们可以证明...