今天打算重新梳理线性代数中的一个重要定理谱定理Spectral Theorem或称为Principal Axis Theorem(主轴定理). 并且Spectral Theorem和Singular Value Decomposition (SVD)有着千丝万缕的关系. 从上面Spectral Theorem的内容上看,涉及到以下一些知识点: (1)特征值和特征向量; (2)正交矩阵Q;
若谱定理对n-1成立,下面证明其对n成立。 任取特征值\lambda_1,和对应的特征向量\boldsymbol{x}_1(存在至少一个,一定能取到!),标准化这个特征向量\boldsymbol{q}=\frac{\boldsymbol{x}_1}{|\boldsymbol{x}_1|},则\boldsymbol{q}^*\boldsymbol{q}=1。 \begin{align*} \boldsymbol{Aq}&=\lambda...
总体来说,谱定理的证明需要从T的特征向量出发,通过一系列推导和分析,证明了特征向量可以构成H的一组完备正交基,从而使得T的谱与特征向量之间建立了一一对应的关系。通过这种对应关系,可以得到谱定理的两个主要结论。 需要注意的是,由于谱定理的证明涉及一些复杂的数学理论和技巧,对于初学者来说可能较为困难,需要有一...
谱定理是一种数学定理，它描述了一个厄米矩阵（Hermitian matrix）的特征值和特征向量之间的关系。下面是谱定理的证明大致步骤：1. 首先，我们需要知道厄米矩阵的一些性质。厄米矩阵是指一个复数方阵，满足矩阵的共轭转置等于其自身的转置。即 A* = A，其中 * 表示共轭转置。2. 接下来，我们可以通过厄米矩阵的特征...
为谱-|||-84.5-|||-矩阵的谱分解-|||-一,正规矩阵的谱分解-|||-首先介绍正规矩阵的谱分解,然后再介绍单纯矩阵的谱分解-|||-设A为正规矩阵,那么存在U∈U×”,满足-|||-A=Udiag(a1,d2,…,n)UH-|||-若命U=(a1,a2,…,an),则-|||-a-|||-A=(a1,a2,…,an)diag(1,2,…,入n)-||...
谱定理（Spectral Theorem）谱定理在线性代数里可以这样表述：正规矩阵A当且仅当存在酉矩阵U，使得U⁻¹AU = D，其中D为对角阵。结合特征值分解和酉矩阵的定义，不难发现D其实就是一种特殊的特征值分解A = PDP⁻¹，U = P。证明必要性 若U⁻¹AU = D，其中...
1矩阵谱分解定理的唯一性证明设A是一个n阶可对角化矩阵,A的谱为σ(A)={λ1 ,λ2,...,λ} (即A的n个不相同的特征值为λ1,λ2,...λs,每个特征值的充数为ks) 则存在唯一一组s个n阶方阵P1 P2...Ps,满足:①A=λ1*P1+λ2*P2+...+λs*Ps ②Pi*Pj=0 (i≠j);Pi*Pi=Pi ③P1+P2+...
接下来，我们可以通过定义投影算子来证明谱分解定理。投影算子是将一个向量投影到某个子空间中的一种线性算子。对于一个矩阵A，我们可以定义其投影算子P为：Pv = v -λ_1 v_1 -λ_2 v_2 - ... -λ_k v_k，其中v是输入向量，λ_i是A对应的特征值和对应的特征向量。通过定义投影算子，我们可以证明...
此定理的证明过程蕴含两个关键环节。首先，对称矩阵的特征值皆为实数，且其特征向量亦为实数向量。其次，当存在n个线性无关的特征向量时，矩阵能实现对角化，即存在分解S=QΛQT。实对称矩阵具有唯一性，其特征值必定为实数。证明此点需从对称矩阵的性质出发，即其特征值与其特征向量间的线性关系。对称...
证明:这个定理的证明我们分成三部分. 第一部分,M~=M+(1−μn)I Mψ=μψM~ψ=Mψ+(1−μn)ψ=(μ+1−μ0)ψ 即M与M~拥有相同的特征向量,即具有相同的正定性. xTM~x=xTMx+1−μn≥1>0 M与M~都正定. 第二部分,假设我们已经求得了ψ1…ψk,Mk=M−∑i=1kμiψiψiT. ...