解析 A可逆的充要条件是A可以写成初等阵的乘积∴AB就是B左一些初等阵,而左乘初等阵就是对B进行初等行变换,所以秩不变。即r(AB)=r(B)B可逆的充要条件是B可以写成初等阵的乘积∴AB就是A右一些初等阵,而右乘初等阵就是对A进行初等列变换,所以秩不变。即r(AB)=r(A) ...
解析 A可逆的充要条件是A可以写成初等阵的乘积所以AB就是B左乘一些初等阵,而左乘初等阵就是对B进行初等行变换,所以秩不变。即r(AB)=r(B)B可逆的充要条件是B可以写成初等阵的乘积所以AB就是A右乘一些初等阵,而右乘初等阵就是对A进行初等列变换,所以秩不变。即r(AB)=r(A) ...
矩阵AB的秩由矩阵A和B的秩及其维度共同决定,满足基本不等式关系,并在特定条件下呈现特殊规律。其核心结论为:r(AB) ≤ min{r(A
深入探讨矩阵秩的神秘等式：AB秩=（AB）'秩的奥秘 在矩阵世界中，秩是一个核心概念，它揭示了矩阵内部的线性结构。矩阵A，一个m行n列的实体，其秩秩（Rank）不仅关乎行向量（Rank(row)）和列向量（Rank(col)）的空间维度，还揭示了A自身的性质。令人惊讶的是，无论A是左乘还是右乘其他矩阵，秩总...
AB等于B左乘初等矩阵，而左乘初等阵就是对B进行初等行变换，所以它的秩不变。而B可逆的充要条件是B可以写成初等阵的乘积，同理秩不变。矩阵的秩定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。定理：初等变换不改变矩阵的秩。定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};...
设矩阵A,B均为n阶方阵,证明:(1)矩阵AB的秩等于矩阵B的秩的充要条件方程组ABx=0和Bx=0同解;(2)秩An=秩An+1. 答案 证明:(1)设R(AB)=r,则线性方程组ABX=0的基础解系中含有n-r个解向量,又线性方程组ABX=0与BX=0同解,所以线性方程组BX=0的基础解系中也含有n-r个解向量,所以R(B)=n-(n-r...
由(1)的结论,知秩A^n=秩A^(n+1). (1)必要性,利用秩相同,则对应的齐次线性方程组所含解向量的个数也相同,再利用BX=0的所有解都是ABX=0的解,得到两者的基础解系也相同,从而证明结论;充分性,利用同解的齐次线性方程组,其基础解系所含的解向量个数也相同,证明结论.(2)利用(1)的结论,只需证明AnX=0...
【答案】：因为AB=BA则(AB)=B'A'=BA=AB即BA为实对称的．其次由于AB都是正定的故存在实可矩逆矩阵PQ使A=P'PB=Q'Q于是AB=P'PQ'Q与QP'PQ'=Q(P'PQ'Q)Q-1=QABQ-1相似从而两者都有相同的特征根．但是QP'PQ'=(PQ')'(PQ')为正定矩阵其特征根都是正实数故AB的特征根都是正实数从而...
矩阵AB的秩是指矩阵AB的行空间或列空间的维数，记作r(AB)。在详细解释之前，我们先了解一下矩阵的秩的基本定义。矩阵的秩是一个衡量矩阵“非零”子空间大小的量，也可以理解为矩阵中行或列向量的最大线性无关组的元素个数。一个矩阵的秩反映了它的行或列向量所生成的子空间在向量空间...
而AB列空间和AB行空间的维数是相同的，所以只可能小于等于A秩和B秩