①Ax = 0x = 0从而,Ax=0 的基础解系为特征值 0 的(n-1)个线性无关特征向量;0 至少为 秩1的n阶实矩阵A的 n-1 重特征值,②取秩1的n阶实矩阵A的任意非零列(或行)向量为c(或r),A可表为: A = cr' 【易计算出另一行(或列)向量r(或c);】由:Ac = cr'c = c(r'c)= (r'c)c 则:...
秩为1矩阵的特征值具有特殊性质:它只有一个非零特征值,该值等于构成矩阵的两个向量的点积,即矩阵的迹,其余特征值均为零。这个性质在矩阵理论和实际应用中具有重要意义。首先,它简化了矩阵的特征值结构,使得秩为1矩阵在数据降维和特征提取等应用中表现出色。其次,这个非零...
秩为1的矩阵的特征值由一个非零特征值和若干个零特征值组成。 特征值的定义:对于一个方阵AAA,如果存在一个非零向量xxx和一个标量λ\lambdaλ,使得Ax=λxAx = \lambda xAx=λx,那么λ\lambdaλ是矩阵AAA的一个特征值,xxx是对应于特征值λ\lambdaλ的特征向量。 秩为1的矩阵的性质: 秩为1的矩阵的所有行(...
其次,秩为1的矩阵A的特征值就是其迹(tr(A)),其余特征值为0。我们可以将矩阵A写作A = αβ^T,其中α是一个列向量,β^T是一个行向量,且tr(A) = α^Tβ。这里,矩阵A的迹就是两个向量的点积。 进一步地,当秩为1的矩阵A可以写成αβ^T = A时,对于特征值λ = tr(A)的特征向量是α;对于λ = ...
特征值的计算 🔍因为a和β都是单位向量且相互正交,所以矩阵A的特征值为2和1,且1和1是重根。又因为aT和βT都是秩为1的矩阵,所以矩阵A的秩为2。因此,0也是矩阵A的一个特征值。经过正交变换,二次型f的标准形为2y2 + y2。 练习题 📝设3阶矩阵A = aaT + βT,其中a和β为正交的单位列向量。A的...
特征值是一个矩阵对于线性变换的特定方向上的放大或缩小的因子,表示为λ。对于一个秩为1的矩阵,其特征值有一个特定的公式来计算。 要计算秩为1的矩阵A的特征值,首先需要找到该矩阵的特征向量。特征向量是一个非零向量,通过矩阵乘法仅发生比例变化,即Av = λv,其中v为特征向量。由于A是秩为1的矩阵,可以表示...
秩为1的矩阵的特征值的公式为 Aβ = βα^Tβ = α^Tββ。1、如果矩阵可以对角化，那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩，如果矩阵不可以对角化，这个结论就不一定成立。设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ...
秩为1的矩阵的特征值的公式 秩为1的矩阵的特征值的公式 Aβ = (βα^T)β = (α^Tβ)β。1、设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是矩阵A的一个特征值。例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵...
所以α^Tβ是A的一个特征值, β是A的属于这个特征值的特征向量.再由r(A)=1知, 齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含 n-r(A)=n-1 个解向量综上知 0 是A的 n-1 重特征值.tr(A)=α^Tβ+0+0+...+0=α^Tβ.如上例中有 tr(A)=4=α^Tβ....
综上所述，秩为1的矩阵 $A=xy^T$ 的特征值只有一个，即 $\lambda = y^Tx$，对应的特征向量可以是与 $xy^T$ 线性无关的任意列向量，通常选择 $\frac{v}{y^Tv}$ 作为特征向量。为了进一步理解这一点，我们可以考虑一个具体的例子。假设 $x = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix...