接下来我们讨论最一般的情况: r<m,n,即矩阵的秩小于矩阵的行和列,此时零空间N(A) 和左零空间 N(A^{T}) 都不为零, \vec{x} 和\vec{b} 都不可能被还原。但是,行空间 \vec{x_{r}} 和列空间 \vec{p} 之间是存在一一对应的,矩阵的逆和它的伪逆就是在这两个空间之间的变换和逆变换, A 的...
列满秩矩阵的零空间只有零向量,有左逆矩阵;行满秩矩阵的左零空间只有零向量,有右逆矩阵。但是对于不满秩的矩阵Am×n(r < n, r < m)来说,两个零空间都存在,此时它无法得到左逆或右逆。 假设Am×n是不满秩的矩阵,其行空间和列空间的维数相等。如果此时行空间的一个向量x,经过A的变换,变为列空间的向...
但是对于不满秩的矩阵Am×n(r < n, r < m)来说,两个零空间都存在,此时它无法得到左逆或右逆。 假设Am×n是不满秩的矩阵,其行空间和列空间的维数相等。如果此时行空间的一个向量x,经过A的变换,变为列空间的向量Ax,并且x和Ax是一一对应的(如果行空间的两个向量u≠v,则Au≠Av),那么在把逆操作限制在...
在深入研究矩阵的特殊性质时，我们关注了列满秩和行满秩两种情况。当矩阵满足列满秩时，其列向量构成的矩阵是可逆的，这使得矩阵具有右逆。然而，矩阵的左零空间（即列向量的零空间）不为空，因此不存在左逆。同样，行满秩的矩阵存在左逆但无右逆。对于更一般的情况，即矩阵的秩小于其行数和列数...
逆矩阵左逆与右逆和伪逆 当A不是方阵的时候就无法直接求逆矩阵。比如A是n×m这个就只能求左逆和右逆 左逆和右逆 (ATA)−1AT(ATA)−1AT就是A的左逆为何这么说?因为[(ATA)−1AT]A=I[(ATA)−1AT]A=I,所以是A的左逆。 (AAT)−1AT(AAT)−1AT就是A的左逆为何这么说?因为AT(AAT)−...