今天,让我们借助子数列收敛定理(致密性原理、聚点原理、Bolzano-Weierstrass theorem),一同走进波尔查诺和魏尔斯特拉斯这两位数学大师的传奇人生与伟大成就。PART 01子数列收敛定理在深入了解两位数学家之前,先来回顾一下子数列收敛定理(也被称为波尔...
波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理是由意大利数学家安东尼·波尔查诺和俄罗斯数学家德米特里·魏尔斯特拉斯于十九世纪同时发现的定理。该定理指出,假设网络中的每条边都有一个非负的以可比较的单位为基础的权值,那么最短路径的权值总和等于从源点到终点的路径总和的最小值。
波尔查诺－魏尔施特拉斯定理是指数学拓扑学与实分析中用以刻划中的紧集的基本定理，得名于数学家伯纳德•波尔查诺与卡尔•魏尔施特拉斯。波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理说明，有限维实数|实向量空间中的一个子集E是紧集序列（每个序列都有收敛子序列）当且仅当E是有界闭集。波尔查诺－魏...
本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布上篇文章 星夜:上下极限与夹逼定理设 (a_n)^\infty_{n=0}和(b_n)^\infty_{n=0}是实数序列,我们称(b_n)^\infty_{n=1}是(a_n)^\infty_{n=1}的子序列,当且仅当存在一个严格递…
在实分析中,波尔查诺-魏尔施特拉斯定理是用以刻划 中的紧集的基本定理。此定理得名于数学家伯纳德·波尔查诺与卡尔·魏尔施特拉斯,其陈述如下: 中的一个子集 是序列紧致(每个序列都有收敛子序列)的充要条件是: 是有界闭集。这个定理最早由伯纳德·波尔扎诺证明,但是他的证明已经散失。卡尔·魏尔施特拉斯独...
(2)定理的证明：先考虑n = 1的情况。对于一个有界闭集中的实数列，取它的一个单调子列。不妨设这个子列单调递增，由于数列有上界，这个子列必然收敛。又因为集合是闭集，收敛的极限必然在集合中，于是我们找到了收敛的子列，因此集合是序列紧致的。对于，证明的思路是取多次子列。设为一个有界序列，则n...
如何用区间套定理证明波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理 答案 你把有界闭集一分为二,其中一个肯定有无限个点,否则就变成有限集了;再在刚分出来的那个有无限点的子集上作二分法,其中至少一个仍有无限点;就这么不断一分为二,分出的子集中总有一个有无限点,否则有限步骤就把有界集分割完了,那它肯定没有无限个点;分割...
子序列具有自反性和传递性，但不具有对称性。如果假设序列 [公式] 是无界的，那么可以证明存在一个子序列 [公式] 使得 [公式] 存在。由于序列 [公式] 是无界的，故对于所有的 [公式]，[公式] 中的元素的绝对值无限次超过 [公式]。令 [公式]，[公式]。容易发现集合 [公式] 非空，于是可以发现...
波尔查诺-魏尔施特拉斯定理是指数学拓扑学与实分析中用以刻划中的紧集的基本定理,得名于数学家伯纳德•波尔查诺与卡尔•魏尔施特拉斯。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理说明,有限维实数|实向量空间中的一个子集E是紧集序列(每个序列都有收敛子序列)当且仅当E是有界闭集。波尔查诺-魏尔施特拉斯定理的历史 这个...