注意到(·′)式左边标红的两项是该非齐次方程对应齐次方程的通解的基本形式(该式中因为分母的限制r1≠r2,所以通解可以这么表示),而右边两项代入(0)成立,说明这是该非齐次方程的一个特解,故这也证明了该类微分方程解的结构是齐次通解+非齐次特解 2.高阶的 求解前置知识:不定积分;一阶(常系数)线性常微分方...
对于齐次线性常微分方程:\[ \frac{d^2y}{dt^2} + a\frac{dy}{dt} + by = 0 \]其通解公式为:\[ y_h(t) = c_1e^{r_1t} + c_2e^{r_2t} \]其中,\(c_1\) 和 \(c_2\) 是任意常数,而 \(r_1\) 和 \(r_2\) 是齐次方程的特征根(解析解)。特征根的求解方法...
代入,得: 再用,常数变易法: 对于一阶线性方程: 对方程求通解方法:由前面的计算我们可知: 代入,得: 回代: 即通解为:
高等数学教材中求方程(1)的特解常用的方法是待定系数法。[1]但是由于以下几种原因,使得待定系数法有一定的局限性,并显得繁琐、复杂,学生学起来颇感困惑。第一,f(x)仅局限于f(x)=eλxPm(x)与f(x)=eλx[Pm(x)cosβx+Pl(x)sinβx]两种类型,其中Pm、Pl分别为m和l次多项式;第二,f(x)为上述两种...
第一步:用特征方程法求对应常系数齐次线性微分方程的通解 第二步:用待定函数法求非齐次微分方程的特解 如果右边函数项f(x)不符合标准类型,则需要借助于换元法,或基于叠加原理分解成如下标准类型求解: 情形1 其中Pm(x)是m次多项式。可设特解为 其中k...
1 可分离变量的微分方程 2 齐次微分方程 化为可分离变量的微分方程进行求解 3 一阶线性微分方程 先用分离变量法求出其对应齐次方程的通解,再用常数变异法求解原微分方程。 Tip:一阶非齐次线性微分方程的通解,由它的一个特解和对应齐次方程的通解构成。 4 伯努利方程 5 全微分...
第一步,先求特征方程r^2-4r+3=0的根,解得r1=3, r2=1。因此齐次方程的通解是Y=C1e^(3x)+C2e^x。又λ=3是特征方程的一个根,因此设非齐次方程的特解y*=(ax^3+bx^2+cx)e^(3x),代入原微分方程,可得6ax+2b+2(3ax^2+2bx+c)=x^2-1. 化简得6ax^2+(6a+4b)x+(2b+2c)...
1、Ay''+By'+Cy=e^mx 特解 y=C(x)e^mx 2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx 特解 y=msinx+nsinx 3、Ay''+By'+Cy= mx+n 特解 y=ax 二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数,即y''+...
几类变系数常微分方程通解的求法