很显然,反对称张量的 Aik=−Aki ,或者说反对称算子的 A⊤=−A ,给人一个信息,那就是它的主对角线上的元素必然全是 0,并且所有元素关于主对角线反号。列如: (0111−10−11−110−1−1−110) ,实际上它就是电动力学中的四阶全反对称单位张量,记为 eiklm。
则称A为对称算子。这里的<x, y>表示向量x和y的内积。 2. 性质: 若A是对称算子,则A的特征值为实数。 在有限维空间中,对称算子存在一组由特征向量构成的正交归一化基。 对称算子可以表示为某个正交矩阵的相似变换。 三、自伴算子的定义与性质 1. 定义: 设H是复Hilbert空间,若线性算子T满足对于任意x, y ...
对称算子(或自伴算子)的定义基于内积空间的线性算子 ,满足对任意向量 ,有 。若进一步满足 对所有非零 成立,则称其为正定对称算子。 典型例子:二阶实对称矩阵 ,通过计算其所有主子式(2,3)均为正,可判定其正定性。 正定性的判定条件 特征值判据:对称算子正定当且仅当其所有特征值为正。例如矩阵 的特征值 和...
习题8. 设H 为复\text{Hilbert} 空间, T\in \mathscr{L}(H) 为对称算子,若 \exists m,M\in \mathbb{R} 使得 (Tx,x)=[m,M]\subset \mathbb{R} 试证: \sigma(T)\subset [m,M] . 证:由于 T 对称,所以 \sigma(T)\subset \mathbb{R} ,所以对于 \lambda\in\mathbb{C}-\mathbb{R} 皆...
对称算子和线性算子是数学中常见的两种算子，它们在数学分析和线性代数等领域有着广泛的应用。虽然它们都是算子，但它们之间存在一些重要的区别。首先，对称算子是指满足交换律的算子。具体来说，如果一个算子T将向量空间V中的两个向量v和w映射到V中的两个向量u和v'，那么当v=w时，有u=v'。换句...
首先是对称——它意味着算子在某个空间内作用时,矩阵是对称得。这一点,从字面理解就是左右对称,也就是如果你把矩阵的第一行与最后一行对调;或者第一列与最后一列对调;矩阵仍然保持不变。这种对称性致使它在解决很多实际问题时,能够保持稳定以及一致。我们谈到正定。正定性是说对称矩阵得特性之一是:它总能保证一...
对称线性算子和自伴算子都是线性算子的一种，它们之间的区别在于：-对称线性算子是指在某个变换下保持不变的线性算子，即对于任意的u、v属于D(T)，有=。而自伴算子是指满足T=T^_的线性算子，其中T^_是T的共轭转置。-对称线性算子的伴随算子定义域可以更大，即D(T)真包含于D(T')。而对于一些...
离散对称算子 在数学得世界里很多问题都有着显而易见的对称性，它们的结构往往通过某种变换保持不变。这种对称性不仅是美学上的奇迹，还是物理学、计算机科学、信号处理等多个领域中不可或缺的一部分。离散对称算子，作为一种非常特别的数学工具；不仅能帮助我们理解对称性在离散结构中的表现；还为解决复杂问题提供了...
《对称微分算子的几类扩张问题》篇一一、引言对称微分算子在数学物理、工程计算、信号处理等领域具有广泛的应用。近年来,随着科学技术的发展,对称微分算子的扩张问题逐渐成为研究的热点。本文将探讨对称微分算子的几类扩张问题,以期为相关领域的研究提供一些参考和思路。二、对称微分算子的基本概念与性质对称微分算子是一种...
• 定义:设V是n维欧氏空间, 是V的线性算子, 如 果, 则称 是自伴随算子(对称算子). • 定理:设 是n维欧氏空间V的线性算子, 则下列条 件等价: (1) 是对称算子; (2) (3) 在V的任一组标准正交基下的矩阵是对称阵; (4) 在V的某一组标准正交基下的矩阵是对称阵. ...