《常微分方程》,数值解法:龙格库塔法,网上的科普文都不够直观,数学太繁琐,写了一个直观的。 龙格库塔:机器人爬山中的坡度计算器 假设一个地质勘探的人形机器人正在爬一座大山,以测量山体表面的地形。山路崎岖,有时坡度缓缓,有时非常陡峭,但是数学“光滑连续”的。整座山完全被厚厚的杂草和荆棘覆盖,无法看见山体表...
\left\{ \begin{array}{cc} y_1(x)&=-e^{-3x}+7\cos(x)+9\sin(x+2(2-2x)e^{-x}\\ y_2(x)&=-e^{-3x}+2\cos(x)+4\sin(x)+(3-2x)e^{-x} \end{array} \right. 5阶龙格库塔法 subroutine rkqs(y,dydx,n,x,htry,eps,yscal,hdid,hnext,derivs) implicit none integer, ...
序 没有对比就没有伤害,本文先给出很多时候直接采用的矩形法,然后与四阶龙格库塔法做比较,着重说明四阶龙格库塔法。 一、矩形法 1.1 原理 设微分方程 求 。 使用数值方法,离散化得每一步的增量 易得 实际上,这就是矩形法计算积分。当 时,可以得出很高精度的 ,但实际工程中未必能够取很小的 。 1.2 例子 ...
四阶龙格库塔法可以用于求解振动方程。振动方程通常是一个二阶微分方程,可以转化为一个一阶微分方程组来使用四阶龙格库塔法求解。 假设我们要求解的振动方程为: m * d^2x/dt^2 + c * dx/dt + k * x = 0 其中,m是质量,c是阻尼系数,k是弹性系数,x是位移,t是时间。 首先,将振动方程转化为一阶微分方...
【解析】 【解题过程】 四阶经典龙格一库塔方法计算公式见式(9.4) 对于问题(1), ∫(x,y)=x| y; 对于问题(2). f(x,y)-(3y)/(1+x) 取h=0.2 y_2=y(0)=1 .分别计算两问题的近似解见表9-3. 表9-3 In 1)的解y 2)的解y 0.2 L.242 800000 1.727548 209 0.4 1.583 635 920 2.742951299...
题:用四阶经典龙格-库塔方法解初值问题 y'=8-3y,y(0)=2 的解函数在x=0.4的近似值,取步长h=0.2,计算结果保留4位小数。 解:已知f(x,y)=8-3y,x_0=0,y_0=2,h=0.2 四阶经典龙格-库塔格式的具体形式为 K_1=8-3y_n, K_2=8-3(y_n+0.1K_1), K_3=8-3(y_n+0.1K_2), K_4=8-...
1⋅¨X(t)+0⋅˙X(t)+0⋅X(t)=cos(t)˙X(0)=0X(0)=0(14)(15)(16)(14)1⋅X(t)¨+0⋅X(t)˙+0⋅X(t)=cos(t)(15)X(0)˙=0(16)X(0)=0 理论解: X(t)=−cos(t)+1(17)(17)X(t)=−cos(t)+1 代码Gitee仓库链接 #include"RK_ODE.h" #include<iostream> ...
由定义可知,一种数值方法的精度与局部截断误差 有关,用一阶泰勒展开式近似函数得到欧拉方法,其局部截断误差为一阶泰勒余项 ,故是一阶方法,完全类似地若用p阶泰勒展开式 进行离散化,所得计算公式必为p阶方法,式中 由此,我们能够想到,通过提高泰勒展开式的阶数,可以得到高精度的数值方法,从理论上讲,只要微分方程的...
K2、……Km，并用他们的加权平均数作为平均斜率K*的近似值，显然能构造出具有很高精度的高阶计算公式。经数学推导、求解，可以得出四阶龙格－库塔公式，也就是在工程中应用广泛的经典龙格－库塔算法： y(i+1)=y(i)+h*( K1+ 2*K2 +2*K3+ K4)/6 K1=f(x(i),y(i)) K2=f(x(i)...